Tema
Distribuciones y Transformada de Fourier

Objetivo
Dar a conocer a los estudiantes la teoría moderna de distribuciones y transformada de Fourier y sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales y Física Matemática.

Temario
1. Espacios de las funciones de prueba 2. Varios métodos para determinar una función. 3. Distribuciones. 4. Operaciones con distribuciones 5. Topología en los espacios de distribuciones 6. Diferenciación de distribuciones. 7. Soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales ordinarias. 8. La función de Green para problemas de frontera sobre un intervalo. 9. Espacios de Sobolev y sus aplicaciones a problemas mixtos 10 Transformada de Fourier en espacios de las funciones de prueba 11. Transformada de Fourier en espacios de las distribuciones 12. Aplicaciones de la transformada de Fourier para la construccion de la soluciones fundamentales de las EDP.

Bibliografía
1. F. G. Friedlander , M. Joshi. Introduction to the Theory of Distributions
2. A.I.Komech. A.A. Komech. Principles of Partial Differential Equations (Problem Books in Mathematics)
3. A.E.Merzon. Transformada de Fourier.
(manuscrpto)

Requisitos
Analisis real y complejo para licenciatura

Commentarios
La teoría es muy bonita y es necesaria para cualquier estudiante -matemático cuyos intereses están cerca del análisis matemático en el sentido amplio de la palabra

Tema
análisis asintótico y aplicaciones

Objetivo
Conocer a los estudianete con los métodos asintóticos en análisis y algunas aplicaciones

Temario
1. Conceptos básicos, "o" pequeño y "O" grande

2. Desarrollos asintóticos de funciones

3. Asintótica de Integrales de Fourier y Laplace

4. Fase estacionaria

5. Punto silla

6. Ecuaciones ordinarias con parámetros pequeños

7. La aproximación WKB. Aplicaciones a guías de onda, difracción y propagación de calor

Bibliografía
1. S. Howison, Practical Applied Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 2005. ISBN 0-521-60369-2
2. Bender, C.M.; Orszag, S.A. (1999). Advanced mathematical methods for scientists and engineers. Springer. pp. 549–568. ISBN 0-387-98931-5.
3. Asymptotic Expansions (Dover Books on Mathematics) by A. Erdelyi, 1956.

Requisitos
Cursos de análisis real y complejo para licenciatura

Commentarios
Métodos asintóticos junto con los mrtodos numéricos es una de las herramientas más importantes para evaluar las soluciones en aquellos casos en que resulte imposible obtener una solución analítica explícita.

Tema
Introduccion a las Categorías Derivadas

Objetivo
Las categorías derivadas han tenido recientemente muchas aplicaciones a la teoría de representaciones. El objetivo del curso será iniciar al alumno (a) en los conceptos básicos de categorías derivadas y trianguladas y estudiar los teoremas de Rickard, los cuáles constituyen una versión al nivel de categorías derivadas, de los teoremas de Morita que caracterizan un par de álgebras con categorías de módulos equivalentes.

Temario
Iniciaremos el curso con el estudio de los teoremas de Morita para categorías de módulos, como punto de Referencia para lo que luego haremos al nivel de categorías derivadas.
1. Teoremas de Morita para categorías de módulos.
2. Categorías aditivas y trianguladas.
3. Categorías Frobenius.
4. Categorías homotópicas.
5. Cocientes de categorías trianguladas.
6. Categorías derivadas.
7. Límites homotópicos.
8. Complejos dobles.
9. Complejos de bimódulos.
10. Complejos de inclinación.
11. Teoremas de Rickard.

Bibliografía
1. F.W. Anderson, K.R. Fuller, Rings and categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, 13, Springer-Verlag.
2. Jun-Ichi Miyachi, Derived Categories with Applications to Representations of algebras, Department of Mathematics, Tokio Gakugei University, Tokio.
3. J.-L. Verdier, Des Cattégories Dérivées des Catégories Abéliennes, Astérisque 239, Société Mathématique de France.
4. Ch. A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridege studies in advanced mathematiques 38.

Requisitos
Nociones generales de anillos y módulos que incluyana anillos aritinianos y noetherianos, módulos semisimples y de longitud finita, el teorema de Krull-Schmidt. Nociones de álgebra homológica incluyendo funtores derivados, ext y tor,

Commentarios

Tema
C*-álgebras

Objetivo
introducción a la teoría de C*-álgebras y demostración del teorema espectral para operadores normales

Temario
Teoría básica de C*-álgebras
- Definiciones
- Ejemplos
- Propiedades básicas

Teoría espectral
- El espectro de un elemento
- La formula del radio espectral y sus consecuencias
- Ideales, homomorfismos y el espectro de una C*-álgebra conmutativa
- La representación de Gelfand de C*-álgebras conmutativas

Representaciones de C*-álgebras en espacios de Hilbert
- Elementos positivos
- Funcionales positivos y estados
- La representación GNS
- El teorema de Gelfand-Naimark

Teorema espectral de operadores normales
- Medidas a valores en proyecciones
- Teorema de representación de Riesz-Markov
- Cálculo funcional continuo de operadores normales y medidas espectrales
- El teorema espectral y su demostración

Bibliografía
G. J. Murphy: C*-algebras and operator theory, Academic Press, Boston, 1990.

R. V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the theory of operator algebras, Volume 1, Academic Press, New York, 1983.

J. B. Conway: A Course in Functional Analysis, Springer, New York, 1985.

G. K. Pedersen: C*-algebras and their automorphism groups, Academic Press, London, 1979.

Requisitos
Analisis Funcional I

Commentarios

Tema
Operadores de Toeplitz

Objetivo
los alumnos exponen la teoría de operadores de Toeplitz en un seminario

Temario
- espacios de Bargman
- proyeccion de Bargman
- operadores de Toeplitz
- símbolo de un operador de Toeplitz
- C*-álgebra de Toeplitz sobre el disco unitario
- C*-álgebra de Toeplitz como subálgebra de B( l_2(N))
- C*-álgebra de Toeplitz como extensión de C*-álgebras
- disco cuántico en geometría no conmutativa
- C*-álgebra de Toeplitz sobre el cuadrado unitario
- importantes C*-subálgebras de la C*-álgebra de Toeplitz

Bibliografía
Böttcher, Albrecht; Silbermann, Bernd: Analysis of Toeplitz operators. Springer-Verlag, Berlin, 2006.

Vasilevski, Nikolai L. Commutative algebras of Toeplitz operators on the Bergman space. Birkhäuser Verlag, Basel, 2008.

Hedenmalm, Haakan; Korenblum, Boris; Zhu, Kehe: Theory of Bergman spaces. Graduate Texts in Mathematics, 199. Springer-Verlag, New York, 2000.

Requisitos
Analisis Funcional I

Commentarios

Tema
Geometría euclidiana y no euclidiana

Objetivo
Fortalecer los conocimientos básicos de geometría general (es decir, antes de enfocarse a geometría diferencial, algebraica, discreta, etc.), y regularizar a aquellos alumnos que en sus cursos de licenciatura no hayan tomado cursos que incluyeran geometría proyectiva e hiperbólica.

Temario
1. Capítulo 1. Geometría en R2 y R3.
a) Grupos de isometrías de R2 y R3.
b) Clasificación de cónicas en R2 y R3.
2. Capítulo 2. Geometría en S2.
a) La métrica de S2 y sus geodésicas.
b) El grupo de isometría de la esfera.
c) Relación entre los ángulos de un polígono esférico y el área del
mismo.
3. Capítulo 3. Geometría en el plano proyectivo
a) Construcción formal del plano proyectivo.
b) Coordenadas homogéneas, recta al infinito.
c) Rectas en el plano proyectivo.
d) Transformaciones proyectivas.
e) Teorema de Desargues y teorema de Pappus.
f ) Cónicas, cúbicas y estructura de grupo de éstas.
4. Capítulo 4. Geometría en el plano proyectivo
a) Modelos para el plano hiperbólico: H2, el disco de Poincaré, el
modelo de Beltrami-Klein.
b) Rectas, circunferencias y horocírculos.
c) Grupos de isometrías del plano hiperbólico. Grupos Fuchsianos.
d) Teorema de Gauss-Bonnet

Bibliografía
1. Antonio Lascurain. Una introduccion a la geometria
hiperbolica bidimensional Las prensas de Ciencias, Mexico 2005. 170 pags.
2. Marcel Berger, Geometry Vols. I y II, Universitytext springer.
3. Francis Bonahon Low dimensional geometry.
4. Beardon, The geometry of discrete groups.
5. Elmer Rees. Notes in geometry.
6. Svetlana Katok. Fuchsian Groups.
7. José Seade. Introducción a la geometría avanzada.
8. Javier Bracho. Introducción analítica a las geometrías.
9. Coxeter, Introduction to geometry

Requisitos

Commentarios
Este curso se impartió en el semestre 2013-I con participación de 4 estudiantes y varios oyentes de doctorado.

Tema
Analisis de Variable Compleja en la Teoría de Números

Objetivo

Temario
1. Formula de sumación de Euler.
2. Series de Dirichlet.
3. Funciones enteras de primer grado y factorización de Hadamard.
4. La ecuación funcional de la función zeta de Riemann y sus ceros.
5. Formula de sumación de Perron.
6. Aplicaciones en teoría de números.

Bibliografía
A. A. Karatsuba, Complex Analysis in Number Theory, CRC
Press, Boca Raton, 1995.
E. C. Titchmarsh, Riemann zeta-function, Second edition revised by D. R. Heath-Brown, 1986, Clarendon Press, Oxford.

Requisitos

Commentarios

Tema
Topología Algebraica

Objetivo
La asignatura tiene como objetivo dar un panorama general de la Topología Algebraica.

Temario
Temario Sugerido:
(I) Cubrientes y grupo Fundamental
- Homotopías y complejos celulares.
- Caminos y homotopía: grupo fundamental.
- Teorema de Seifert y van Kampen.
- Espacios Cubrientes.
- Ejemplos: R^1, S^1, T^2
- Teoremas de levantamiento y existencia de espacios cubrientes.
- Aplicaciones: Teoremas de Punto Fijo de Brouwer y de Borsuk-Ulam en dimensión 2.
(II) Espacios de lazos y grupos de homotopía superiores
(III) Homología
- Homología Celular
- Sucesiones exactas: Mayer-Vietoris y sucesiones de pares y ternas.
- Cálculos: S^n, T^2.
- Homología Singular y verificación de los axiomas.
- Cálculos : RP^n, CP^n, superficies cerradas.
- Isomorfismo de Hurewicz.
- Característica de Euler-Poincaré
- Aplicaciones: Teorema de Campos vectoriales sobre esferas, teorema de separación de Jordan-Brouwer, Teorema de invarianza del dominio, teorema fundamental del álgebra y Teorema de Punto jo de Brouwer.

Bibliografía
Las referencias bibliográficas incluyen:
- Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
- Carlos Prieto. Topologa Basica. Sección de obras de Ciencia y Tecnología. Fondo de Cultura Económica, 2003.

Requisitos

Commentarios
Este curso se impartirá de manera conjunta con el Dr. Noé Bárcenas Torres.

Tema
Funtores de Biconjuntos

Objetivo
Introducir al alumno en la teoríade de Funtores de Biconjuntos para grupos finitos.

Temario
1. Biconjuntos.
2. Anillos de Burnside.
3. Funtores de Biconjuntos y ejemplos.
4. Funtores de Green de biconjuntos
5. Módulos sobre funtores de Green de biconjuntos.
6. Producto tensorial en módulos sobre funtores de Green.
7. Grupos de Dade como funtores de Biconjuntos.

Bibliografía
1. Serge Bouc. Biset Functors for finite Groups. Lecture Notes in Mathematicas 1990, Springer 2010.
2. Dave. J. Benson. Representation and Cohomology I and II.
Cambride studies in advanced mathematicas 30. 1997.

Requisitos
Álgebra Moderna, curso básico. Conocimientos de Teoría de Categorías y de Álgebra Homológica.

Commentarios

Tema
Análisis de Sistemas Biológicos

Objetivo
Introducir al alumno al estudio de diferentes sistemas biológicos y las herramientas matemáticas utilizadas para el análisis de los mismos. Analizar el planteamiento de conceptos de biología en matemática y recuperar implicaciones biológicas que el análisis matemático conlleva.

Temario
1) Modelos continuos para una sola población
* Modelos de crecimiento continuo
* Crecimiento exponencial, logístico
* Modelos con retraso
* Análisis de modelos con retraso, existencia de soluciones periódicas y sus implicaciones
* Modelo de población con cosecha

2) Modelos de interacción de poblaciones
* Modelos de predador-presa
* Análisis de ciclos límites y comportamiento periódico de soluciones, estabilidad.
* Competencia, mutualismo.
* Fenómeno de umbral

3) Modelos de descripción neuronal
* Mecanismos de potencial de acción
* Modelo de Hodking-Huxley
* Modelo de FitzHugh-Nagumo
* Análisis cualitativo y análisis de bifurcación

4) Modelos neurales promedio continuos
* Formulaciones basadas en redes neurales
* Dinámica espaciotemporal de modelos neurales promedio continuos, ejemplos.
* La epilepsia como una enfermedad dinámica

Si el tiempo lo permite también se cubrirá el siguiente punto:
5) Ondas en medios biológicos
* Existencia de pulsos en el modelo de FitzHugh-Nagumo.
* Estabilidad lineal de ondas y función de Evans
* Ondas en modelos excitables
* Frentes y ondas en modelos neurales promedio, ejemplos.

Bibliografía
Murray J.D. Mathematical Biology I y II, Springer. I: Capítulo 1 y 3, II: Capítulo 1.
Ermentrout B. Rep. Prog. Phys. (1998) Neural networks as spatio-temporal pattern-forming systems
Bressloff P.C. J.Phys. A: Math.Theor. 45 (2012) Spatiotemporal dynamics of continuum neural fields
Milton, J.G. Epilepsy Behav (2010) Epilepsy as a dynamic disease: a tutorial of the past with an eye to the future
Bressloff P.C. Springer, Waves in Neural Media

Requisitos
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Análisis Real

Commentarios

Tema
Combinatoria aditiva y distribución de secuencias

Objetivo

Temario
1. Suma de conjuntos. Estimaciones de Plunnecke.
2. Estimaciones de suma y producto de conjuntos.
3. Análisis discreta de Fourier.
4. Distribución uniforme de secuencias.
5. Las sumas de caracteres y aplicaciones.
6. La gran criba.

Bibliografía
[1]. T. Tao, V. Vu, "Additive combinatorics'', Cambridge University Press, Cambridge, 2006.,
[2]. J. B. Friedlander, H. Iwaniec, "Opera de cribro", American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
[3]. H. L. Montgomery, "Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis", American Mathematical Society, Providence, RI, 1994.

Requisitos

Commentarios

Tema
Tópicos en Teoría de Conjuntos

Objetivo
Introducir al alumno al estudio de algunos tópicos de la Teoría de Conjuntos.

Temario
1.-Conjuntos no medibles de reales y medibilidad en L[R].
2.-Axiomas de Forcing.
3.-El método de caminos minimales de Todorcevic.

Bibliografía
Topics in Set Theory, M. Bekkali, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag 1991.
Notes on Forcing Axioms, S. Todorcevic, Lecture Notes Series, World Scientific 2014.
Walks on Ordinals and Their Characteristics, S. Todorcevic, Progress in Mathematics, Birkhauser 2007.

Requisitos
Conocimientos básicos de la Teoría de Conjuntos y familiaridad con extensiones de forcing.

Commentarios

Tema
Teoria de Haces Vectoriales

Objetivo
Estudiar haces vectoriales en variedades e introducir al alumno a la teoría de clases características y teoría K.

Temario
1. Haces vectoriales
2. Cohomología
3. Clases Características
4. Introducción a la teoría K

Bibliografía
1. K-Theory, M. Karoubi, Springer.
2. Characteristic Classes, J. Milnor, Princeton U. Press

Requisitos
1. Topología algebraica básica
2. Topología Diferencial
3. Algebra moderna

Commentarios

Tema
HIPERBOLICIDAD EN COMPLEJOS DE CURVAS

Objetivo
El objetivo del curso es entender la prueba del teorema de hiperbolicidad uniforme del complejo de curvas. Este es el contenido del artículo:

"1-slim triangles and uniform hyperbolicity
for arc graphs and curve graphs"

de Hensel, Przytycki y Webb publicado en 2015 en JEMS.

Para lograr este objetivo estudiaremos la geometría y topología del complejo de curvas.

Temario
1. Complejo de curvas.
2. Geometría global y topología del complejo de curvas.
3. Hiperbolicidad en el sentido de Gromov.
4. Caminos unicornios.
5. Hierbolicidad uniforme para superficies compactas.
6. Otros complejos de curvas.

Bibliografía
1. A premier on Mapping Class Groups. Farb & Margalit
2. "1-slim triangles and uniform hyperbolicity
for arc graphs and curve graphs" de Hensel, Przytycki y Webb publicado en 2015 en JEMS. http://www.mimuw.edu.pl/~pprzytyc/unicorns.pdf
3. Geometry of the complex of curves I: Hyperbolicity. de H. Masur y Y. Minsky. Inventiones Mathematicae 138, 103-149 (1999)
4. Notes on the complex of curves. Saul Schleimer http://homepages.warwick.ac.uk/~masgar/Maths/notes.pdf

Requisitos
Nociones básicas de topología algebraica y topología de superficies.

Commentarios
Este curso está destinado a enriquecer el trabajo final que presentará mi estudiante de maestría Israel Morales. El estudiante inscribirá el curso.

Tema
Temas Selectos de topología algebraica aplicada

Objetivo
En este curso abordaremos dos conjuntos de ideas relacionadas con la aplicación de la topología algebraica.
La primera parte concierne el uso de homología persistente para el análisis topológico de datos (TDA) y se enmarca en el contexto de trabajo conjunto con investigadores del CIMAT, IM-Juriquilla e INFOTEC.

El segundo grupo de ideas, más establecido, es el método de Lusternik-Schnirelman, usado en Análisis Variacional.

Temario
1. Homología Persistente
La homología persistente se ha consolidado en un corto tiempo en una herramienta para el análisis topológico de datos. Daremos una introducción a este tema, especializandonos en la experimentación con códigos de barras.

2. Métodos topológicos en análisis variacional. Daremos una breve introducción al método de Lusternik-Schnirelman y veremos algunos ejemplos clásicos de su aplicación.

Bibliografía
Carlsson. Topology of data.
Robert Ghrist. Elementary algebraic topology.

Para la segunda parte:
I.M. James. On category, in the sense of Lusternik-Schnirelman.
Cornea, Lupton, oprea, , Tanre. Lusternik-Schnirelman Category

Requisitos
Topología algebraica.

Commentarios

Tema
Representaciones de Álgebras

Objetivo
En este curso nos centraremos en la teoría desarrollada por Maurice Auslander e Idun Reiten y en algunas de sus aplicaciones importantes.

Se hará uso principalmente de métodos de homológicos y categóricos, por lo que se requerirá del alumno conocimientos básicos de teoría de anillos y módulos, nociones de álgebra homológica y de categorías abelianas.

Temario
Algunos temas que se cubrirán serán los siguientes:

1. Nociones básicas de álgebras de artin.
2. Álgebras de Nakayama
3. Álgebras Hereditarias y de carcaj
4. Existencia de sucesiones que casi se dividen
5. Tipo de representación finito.
6. La categoría de funtores.
7. Primera conjetura de Brauer-Thrall
8. Álgebras hereditarias de tipo de representación finito.
9. El carcaj de Auslander-Reiten de una álgebra hereditaria.
10. Equivalencia estable.
11. Álgebras torcidas y cubiertas universales.

Bibliografía
El curso se basará en material de los siguientes textos:

1. Representation Theory of Artin Algebras. M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smalo, Cambridge studies in advanced mathematics 36, 1995.
2. Introducción a la teoría clásica de representaciones de álgebras, R. Martínez-Villa, Monografías Instituto de Matemáticas 23, 1990
3. Métodos diagramáticos en teoría de representaciones, C. Cibilis, F. Larrión, L. Salmerón. Monografías Instituto de Matemáticas.

Requisitos
Se supondrá en particular, familiaridad con los siguientes temas:

1. Nociones básicas de anillos y módulos: módulos libre, proyectivos, inyectivos y planos.
2. Anillos específicos: noetherianos, semisimples y artinianos, anillos autoinyectivos, locales, el anillo de polinomios.
3. Homología: complejos, homología, funtores derivados.
4. Propiedades básicas de ext.
5. Propiedades básicas del tor.
6. Dimensión homológica y aplicaciones: dimensiones, teorema de los Syzygys de Hilbert, anillos locales conmutativos noetherianos.

Una buena referencia sería, los primeros nueve capítulos del libro:

An Introduction to Homological Algebra, J. Rotman. Academic Press(1979)

Commentarios
El curso requerirá participación activa de parte de los alumnos y en adición al material de clase los alumnos leerán otros textos de autores como: Auslander- Reiten, Bernstein-Gelfand-Ponomarev, M. Platzeck, etc.

Tema
Combinatoria Infinita y Topologia

Objetivo
Aplicar la combinatoria infinita a la topología para la construcción de ejemplos y contraejemplos, la definición de invariantes cardinales y analizar propiedades topológicas de ciertos espacios. Al final del curso se darán aplicaciones a al estudio de la recta real y a los espacios de Banach

Temario
Curso Avanzado de Topología (Combinatoria Infinita y Topología)}

TEMAS

1. Introducción.
1.1 Números Ordinales y Cardinales.
1.2 Aritmética Ordinal.
1.3 Aritmética Cardinal.
2. Ideales y filtros.
2.1 Propiedades B\'asicas.
2.2 Algunas clases de ideales y filtros.
2.3 Varios \'ordenes de filtros e ideales.
2.4 Ultrafiltros.
2.5 La compactación de Stone-Cech de los números naturales.

3. Axioma de Martin.
3.1 Axioma de Martin y sus equivalentes.
3.2 Algunas consecuencias del Axioma de Martin.
4. Familias Casi Ajenas.
4.1 Propiedades Básicas.
4.2 Familias Casi Ajenas Maximales.
4.3 Aplicaciones a la topología.
5. Invariantes Cardinales.
5.1 Definiciones de los invariantes cardinales básicos.
5.2 Construcciones de espacios topológicos usando cardinales invariantes.
5.3 Invariantes cardinales en espacios de funciones.
6. Aplicaciones al Análisis Matemático.
6.1 Conjuntos medibles, nulos y magros.
6.2 Caracterizaciones de add(M) y cof(M).
6.3 Caracterizaciones de add(N) y cof(N).
6.4 Caracterizaciones de cov(M) y cov(N).
6.5 Filtros rapidos.
6.6 Aplicaciones a los espacios de Banach.

Bibliografía
\item{[1]} {\bf T. Bartoszynski, J. Judah}, {\it On the Structure of the real Line}, Wellesley
Massachusetts, 1995.

\item{[2]} {\bf W. W. Comfort, S. Negrepontis}, {\it Theory of Ultrfilters}, Springer-Verlag, 1970.

\item{[3]} {\bf M. Foreman, M. Magidor}, {\it Handbook of Set Theory}, Springer-Verlag, 2009.

\item{[4]} {\bf T. Jech}, {\it Set Theory}, Springer-Verlag, 2002.

\item{[5]} {\bf A. Kanamori}, {\it The Higher Infinite, Large Cardinals in Set Theory from their beginnings}, Springer-Verlag, 2008.

\item{[6]} {\bf K. Kunen}, {\it Set Theory: An introduction to Independence Proofs}, North Holland, 1980 .

Requisitos
Topología General, Teoría de Conjuntos y Análisis Real

Commentarios

Tema
Introducción al estudio de las 3-variedades

Objetivo
Conocer las técnicas clásicas utilizadas en el estudio de las 3-variedades. Demostrar el teorema de descomposición de Jaco-Shalen-Johannson y llegar a enunciar el enunciado del Teorema de Geometrización de 3-variedades de Thurston-Perelman.

Temario
1 - Clasificación de superficies cerradas.
1.1 Ejemplos de superficies (orientables, no orientables, cerradas compactas con frontera y no compactas).
1.2 Género y Característica de Euler de una superficie
1.3 Teorema de clasificación de superficies cerradas y compactas con frontera.
1.4 Geometrización de las superficies cerradas.

2 - Ejemplos de 3-variedades.
2.1 Ejemplos de 3-variedades (orientables, no orientables, cerradas, compactas con frontera y no compactas.
2.2 Grupo fundamental, grupos de homología y género de Hegard.

3 - Descomposición prima de 3-variedades.
3.1 Teorema de Alexander
3.2 Lemas previos
3.3 Teorema de descomposición prima

4 - Descomposición de Jaco-Shalen-Johannson
4.1 Definiciones preliminares (2-sided, superficies incompresibles, variedades de Seifert)
4.2 Lemas previos
4.3 Descomposición JSJ de una 3-variedad

5 - Enunciado del Teorema de Geometrización

Bibliografía
Algebraic Topology: An Introduction. - W. Massey
Notes on Basic 3-Manifold Topology - A. Hatcher
3-Manifolds - J. Hempel
Three dimensional Geometry and Topology - W. Thurston

Requisitos
Topología general.
Topología Algebráica.
Geometría Riemanniana.

Commentarios
Es un curso que entiendo que no es común que se imparta en Morelia, por eso la idea es comenzar con calma para que los alumnos se acostumbren a las ideas que se manejan en el área.

Tema
Topología Algebraica Básica

Objetivo
Dotar a estudiantes del área de Topología, análisis global, geometría algebraica y física matemáticas de herramientas básicas de la topología algebraica correspondientes a un primer curso.

Se enfatizará en las competencias básicas necesarias para cubrir el examen básico, así como en la habilidad de realizar cálculos, también con ayuda de distintas paqueterías de cómputo.

Temario
Grupo fundamental:
Ejemplos, teorema de Seifert-Van Kampen.
Espacios cubrientes y relación con el grupo fundamental.

Homología.
Definiciones básicas, cálculos específicos y prueba de los axiomas. Cálculos usando interfaces computacionales: GAP, otras paqueterías usadas en análisis topológico de datos.
Teorema de Hurewicz .

Bibliografía
Allen Hatcher: Algebraic Topology
Carlos Prieto: Topología Básica.
Edwin Spanier: Algebraic Topology
Tom Dieck: Algebraic Topology.

Requisitos
Conocimiento básico acerca de Módulos.
Conocimiento básico de topología.

Commentarios

Tema
ACCIONES SIMPLICIALES DEL MAPPING CLASS GROUP

Objetivo
El objetivo del curso es entender (y de ser posible generalizar) los resultados de "Automorphism groups of simplicial complexes of infinite type surfaces", por J. Hernández y F. Valdez. (ver arXiv:1402.3275, trabajo por aparecer en Publicacions Matematiques).

Temario
(1) Conceptos básicos sobre superficies, curvas y complejos simpliciales abstractos.
(2) Complejos simpliciales abstractos que se le pueden asociar a una superficie.
(3) Caso de estudio: topología y geometría del complejo de curvas.
(3) Acciones simpliciales: el caso del complejo de curvas sobre una superficie compacta.
(5) Superficies de tipo infinito.
(6) Acciones simpliciales: el caso del complejo de curvas sobre una superficie compacta.

Bibliografía
Title: Automorphism groups of simplicial complexes of infinite type surfaces Authors: Jesús Hernández Hernández, José Ferrán Valdez Lorenzo
arXiv:1402.3275

McCarthy, John D.(1-MIS); Papadopoulos, Athanase(F-STRAS-I)
Simplicial actions of mapping class groups. Handbook of Teichmüller theory. Volume III, 297–423,
IRMA Lect. Math. Theor. Phys., 17, Eur. Math. Soc., Zürich, 2012.

Farb, Benson(1-CHI); Margalit, Dan(1-GAIT)
A primer on mapping class groups.
Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. xiv+472 pp.

Ivanov, Nikolai V.(1-MIS)
Automorphism of complexes of curves and of Teichmüller spaces. (English summary)
Internat. Math. Res. Notices 1997, no. 14, 651–666.

Elmas Irmak, Complexes of nonseparating curves and mapping class groups, Michigan Math. J. 54 (2006), no. 1, [UTF-8?]81–110.
Kenneth J. Shackleton, Combinatorial rigidity in curve complexes and mapping class groups, Pacific J. Math. 230 (2007), no. 1

Paul Schmutz Schaller, Mapping class groups of hyperbolic surfaces and automorphism groups of graphs, Compositio Math. 122 (2000), no. 3, [UTF-8?]243–260.

Requisitos
Conocimientos básicos de topología de superficies y topología general. Conocimientos básicos de teoría de grupos

Commentarios

Tema
Grupos de Coxeter

Objetivo
Dar una introducción amplia a los estudiantes de los grupos de Coxeter, desde sus motivaciones hasta sus teoremas relevantes. Se incluye la representación usual de un grupo de Coxeter en un espacio euclidiano.

Temario
1) Grupos finitos de reflexiones (de espacios euclidianos)
2) Clasificación de grupos finitos de reflexiones
3) Grupos afines de reflexiones
4) Grupos de Coxeter
5) Grupos de Coxeter irreducibles
6) Representacion de grupos de Coxeter irreducibles

Bibliografía
1) Humphreys, James E. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29. Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
2) Grove, L. C.; Benson, C. T. Finite reflection groups. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 99. Springer-Verlag, New York, 1985.

Requisitos

Commentarios

Tema
Álgebra Homológica

Objetivo
Dar una introducción al Álgebra Homológica para que se pueda usar en distintas áreas de las matemáticas, como son: Álgebra, Topología Algebraica, Geometría Algebraica.

Temario
1. Módulos y Categorías
a) Módulos
b) Categorías
c) Funtores
d) Módulos libres, proyectivos e inyectivos
e) Grupos de Grothendieck
f) Límites

2. Homología
a) Productos semidirectos
b) extensiones y cohomología
c) Funtores de homología
d) Funtores derivados
e) ext y tor
d) cohomología de grupos

Bibliografía
1. Advanced Modern Algebra. Joseph J. Rotman, Pearson Education, 2002.
2. An introduction to homological algebra. Joseph J. Rotman. Springer Science Business Media, 2009.
3. An introduction to homological algebra. Charles A. Weibel. Cambridge University Press, 1995.
4. Categories for the working mathematician. S. Mac Lane. Springer Verlag. 1971

Requisitos
Conocimientos que se obtienen en el curso básico de álgebra.

Commentarios

Tema
Métodos Variacionales

Objetivo
Muchos fenómenos admiten
una formulación variacional, es decir, las soluciones son los
puntos críticos de un funcional; presentaremos una introducción a los métodos y técnicas que se usan
para abordar este tipo de problemas. Se hará enfasis en aplicaciones a E.D.P.

Temario
Generalidades sobre espacios de Sobolev


Métodos Directos y de Energía
( Semicontinuidad inferior, Principio Variacional Ekeland, Dualidad, Aplicaciones a E.D.P.)

Diferenciabilidad es espacios de Banach (Funciones diferenciables y ecuaciones de Euler-Lagrange, Soluciones positivas en E.D.P.)

Teoria de Puntos Críticos (Flujo Gradientes, Teoria de Lusternik-Schnirelmann, Métodos Minimax, Condición de Palais-Smale, Paso de Montaña, Multiplicidad de Soluciones)

Teoria de Indice (Aplicaciones a E.D.P.)

Bibliografía
M. Struwe, Variational Methods, Springer.

Paul H. Rabiniwitz, Minimax Methods in Critical Piont Theory with applications to diff. equations. CBMS Num. 65.
M. Clapp, M\'etodos Variacionales en E.D.P. (Notas de Curso UNAM).
D.G. Co s ta , An invitation to Variational Methods in Di§erential Equations,
Birkh‰user, Boston 2007.

J. Jo s t , X. Li -Jo s t , Calculus of Variations, Cambridge University Press, New
York 1998.

Requisitos
Análisis funcional

Commentarios

Tema
La función L de Dirichlet

Objetivo

Temario
1. Carácteres de Dirichlet. Carácteres primitivos.
2. Suma de Gauss.
3. Definición de la función $L$ de Dirichlet. Producto de Euler.
4. Relación con el problema de los primos en las progreciones
aritméticas.
5. Continuación analítica de $L(s,\chi).$ La ecuaci\'on
funcional.
6. Propiedades sencillas acerca los ceros de $L(s,\chi)$.
7. Los ceros reales de $L(s,\chi)$.
8. Teorema de Siegel y sus consecuencias.
9. La gran criba en teoría de la función $L$ de Dirichlet.
10. Densidad de los ceros de $L(s,\chi)$.
11. Teorema de Bombieri--Vinogradov.

Bibliografía
H. Davenport, ``Multiplicative number theory", revised by Hugh L. Montgomery. New York : Springer, 2000.
A. A. Karatsuba, ``Fundamentos de la teoría analítica de los números", Editorial Mir Moscú, 1979.
A. A. Karatsuba, ``Complex Analysis in Number Theory" , CRC, Press, Boca Raton, 1995.

Requisitos

Commentarios

Tema
Introducción al grupo modular

Objetivo
El principal objetivo del curso es dar una introducción al estudio del grupo modular de una superficie compacta ("mapping class group" en inglés). Estudiaremos ciertas acciones del grupo e introduciremos ideas de teoría geométrica de grupos para entender cómo éstas acciones se traducen en propiedades del grupo.

Temario
1. Definiciones y primeros ejemplos
2. Acción del grupo modular en el complejos de curvas y arcos: generación y presentación finita
3. Sucesión Exacta de Birman y otras sucesiones exactas
4. "Acción" del grupo modular en el grupo fundamental de una superficie: teorema de Dehn-Nielsen-Baer
5. Acción del grupo modular con un punto marcado en el círculo

Si el tiempo lo permite, estudiaremos alguno de los siguientes temas de acuerdo al interés de los participantes:

- Otras herramientas de teoría geométricas de grupos
- Propiedades cohomológicas del grupo modular
- Acción del grupo modular en el primer grupo de homología de la superficie: representación simpléctica y grupo de Torelli
- Acción del grupo modular en el espacio de Teichmüller y su relación con el espacio modular de superficies de Riemann.
- Acción del grupo modular en rayos geodésicos: Teorema de Clasificación de Nielsen-Thurston

Bibliografía
Referencias principales:
BOWDITCH, B. A course on geometric group theory
FARB, B.-MARGALIT, D. A primer on mapping class groups
IVANOV, N. Mapping Class Groups

Requisitos
Cursos básicos (o su equivalente) de álgebra y topología algebraica.

(Deaseable) Cursos básicos (o su equivalente) de variable compleja y topología geométrica

Commentarios

Tema
Geometría simpléctica

Objetivo
Enseñar las bases de la geometría simpléctica. Mostrar el papel que juega en la mecánica clásica y dar una introducción breve al problema de cuantización geométrica.

Temario
Temario:
1) Introducción breve a la mecánica clásica
2) Geometría simpléctica
2.1 Espacio cotangente y su estructura
2.2 Estructura simpléctica en variedades
2.3 Flujos hamiltonianos y sus invariates
2.4 El álgebra de Lie de campos vectoriales y el álgebra de Lie de funciones hamiltonianas
2.5 Geometría simpléctica
2.6 Aplicaciones en mecánica clásica
3) Formalismo canónico (origen de la geometría simpléctica)
3.1 El invariante integral de Poincaré-Cartan y sus aplicaciones
3.2 El principio de Huygens en óptica
3.3 El método de Hamilton- Jacobi para integrar las ecs de Hamilton
3.4 Funciones generadoras
3.5 El espacio fase extendido y geometría de contacto
4) Sistemas dinámicos con simetrías
4.1 Reducción simpléctica
--
5) Introducción a la cuantización geométrica*
5.1 Formulación del problema de cuantización y ejemplos
5.2 Precuantización
5.3 Polarizaciones
5.4 Cuantización
5.5 Cuantización y reducción simpléctica

*) En el tema (5) se verán las ideas y resultados principales. Las demostraciones de algunos de dichos resultados se verán si el tiempo lo permite.

Bibliografía
Bibliografía:
V. I. Arnold, "Mathematical methods of classical mechanics" Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag
- capítulos 3 [Introd. al cálculo variacional] y 4 [Mecánica lagrangiana] (parcialmente)
- capítulo 7 [Formas diferenciales] (lo que los estudiantes necesiten)
- capítulos 8 [Geometría simpléctica] y 9 [Formalismo canónico] (en su totalidad)

A. A. Kirillov, en "Encycl of Math Sci" Dynamical Systems Vol 4, Springer-Verlag

Requisitos
Requisitos:
Haber llevado el curso básico de Geometría Diferencial o el de Topología Diferencial.

Commentarios

Tema
Programación Lineal

Objetivo

Temario
1. Introducción
1.1 Definición de problema de programación lineal
1.2 Modelado de problemas de programación lineal
1.3 Solución geométrica
1.4 El espacio de requerimientos

2. Repaso de análisis convexo y conjuntos poliédricos
2.1 Conjuntos convexos y funciones convexas
2.2 Conjuntos poliédricos y conos poliédricos
2.3 Puntos extremos, caras, direcciones, y direcciones extremas de conjuntos poliédricos

3. El método simplex
3.1 Puntos extremos y optimalidad
3.2 Soluciones básicas factibles
3.3 La clave del método simplex
3.4 Motivación geométrica del método simplex
3.5 Álgebra del método simplex

4. Solución inicial y convergencia
4.1 Solución básica factible inicial
4.2 El método de las dos fases
4.3 El método de la gran M
4.4 ¿Qué tan grande debería ser la gran M?

5. Condiciones de optimalidad
5.1 Lema de Farkas a través del método simplex
5.2 Las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker

6. Dualidad y Análisis de Sensibilidad
6.1 Formulación del problema dual
6.2 Relaciones entre el primal y el dual
6.3 Interpretación económica del dual
6.4 El método dual simplex
6.5 Análisis de Sensibilidad

Bibliografía
Bazaraa, John J. Jarvis y Hanif D. Sherali. 4th ed. John Wiley and Sons. New Jersey. 2010, Linear Programming and Network Flows

Requisitos

Commentarios

Tema
Teoría de localización

Objetivo

Temario
1. Introducción
2. La naturaleza de los problemas de localización
2.1 Medidas de distancia en problemas de localización
3. Localización de un solo servicio
3.1 El problema de localización considerando la distancia “rectangular” (norma Lp con p = 1)
3.2 El problema de localización considerando la distancia Lp (norma Lp con p > 1 o p = ∞)
4. Localización de múltiples servicios
4.1 El modelo con la distancia rectangular (norma Lp con p = 1)
4.2 El modelo con la distancia Lp (norma Lp con p ≥ 1 o p = ∞)
5. Variaciones del modelo de localización de un solo servicio
5.1 Localización de un servicio sobre una esfera
5.2 Localización de un servicio lineal
6. Problemas de localización discreta
6.1 El Problema Simple de Localización de Servicios (PLSS)
6.2 Algunos algoritmos para resolver el PLSS
7. Modelado de funciones distancia *

Bibliografía
a) Facilities Location. Robert F. Love. North Holland. 1988
b) Facility Location. Zvi Drezner. Springer. 1995

Requisitos

Commentarios

Tema
Algoritmos y métricas en gráficas

Objetivo
El análisis matemático y computacional de las gráficas ha ha resultado en diversas aplicaciones en campos tan diversos como mecánica estadística en Física, estructura social en Sociología, minería de datos y algoritmos en Computación, entre otros, para tratar de extraer información relevante y útil de un sistema complejo y, específicamente, de la interacción entre individuos.

Temario
1. Conceptos Básicos de Teoría de Gráficas
a) Gráficas, digráficas, pesos
b) Matrices asociadas
2. Métricas en Gráficas
a) Centralidad (de grado, de cercanía, intermediación, de eigenvalor, PageRank, Katz)
b) Homofilia
c) Efecto del mundo pequeño
d) Distribuciones de grados
e) Medidas de conglomeración
3. Algoritmos en gráficas
4. Gráficas aleatorias
- Erdös-Renyi
- Albert Barabanasi
- Apego Preferencial
-ESRM, SERMs, etc.

Bibliografía
[1] M. E. J. Newman, Networks: An Introduction, Oxford University Press, March 2010. ISBN: 9780199206650

[2] Aggarwal, C. C. and Wang, H. Managing and Mining Graph Data, Ed. Springer, 2010.

[3] M. E. J. Newman, S. H. Strogatz, and D. J. Watts, “Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications”, Phys. Rev. E 64, 026118 (2001). [4] Social and Economic Networks
Matthew O. Jackson, Princeton University Press

Requisitos
Teoría de Gráficas

Commentarios
Nunca me llegó el correo de anuncio para pedir materias. Supongo que porque quitaron las cuentas de correo.

Tema
Teoria de haces vectoriales

Objetivo
Desarrollar la teoria de haces vectoriales así como la de haces vibrados en general. Estudiar sus propiedades, invariantes y apñicaciones

Temario
1. Haces fibrados, definición construcciones y ejemplos.
2.Haces vecoriales, características, y haces vibrados asociados más comunes.
3. Clasificación de haces
4. Teoría K algebraica
5. Clases características

Bibliografía
Hatcher, Vector Bundles
Karoubi, K-theory

Requisitos
Topologia Algebraica 1, Algebra Moderna

Commentarios
Las clases serán Lunes , Martes y Miércoles a as 8:30 am.

Tema
Teoria de distribicion y transformada de Fourier

Objetivo
Conocer a los estudiantes con una área moderna de Análisis, que tiene gran valor en aplicaciones, en particular en la Fíisica Matemática

Temario
Programa para el curso “Teoria de Distribuciones”

2016


Dr. A.Merzon





1. Varios métodos para determinar una función.

2. Distribuciones.

3. Adición de distribuciones.

4. Multiplicación de distribuciones por un numero.

5. Traslación de distribuciones.

6. Cambio de escala en el argumento de distribuciones.

7. Convergencia de distribuciones.

8. Diferenciación de distribuciones.

9. Diferenciación de funciones suaves por trozos.

10. Diferenciación del producto.

11. Soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales ordinarias.

12. El método de construcción de las soluciones fundamentales para el operador arbitrario ordinario.

13. La función de Green para problemas de frontera sobre un intervalo.

14. El método de construcción de la función de Green para problemas de frontera sobre el intervalo.

15. La función de Green para ecuaciones del segundo orden

16. Transformada de Fourier de distribuciones.

17. Aplicaciones

Bibliografía
Alexander Komech, Andrew Komech. A Little Book
on Partial Differential Equations, Admisible.

Fiedlander, Joshy. Introduction toe the Theory of distributions. Admisible

Requisitos
Curso Analisis de Maestria

Commentarios
El temario puede cambiarse con respecto a intereses de estudiantes

Tema
Curso Básico

Objetivo

Temario

Bibliografía

Requisitos

Commentarios

Tema
Temas Avanzados de topología algebraica

Objetivo
El objetivo del curso es dotar a los alumnos de conocimientos avanzados de topología algebraica, reforzando los conocimientos del curso básico.

Temario
De acuerdo al interés de la audiencia: Cohomología, introducción a la teoría de Clases características, Aspectos básicos de Espectros y teoría de homotopía estable, Cálculo con sucesiones espectrales.

Bibliografía
Milnor y Stasheff. Characteristic Classes,
Adams. Stable homotopy and generalised cohomology.
Dold. Lectures on algebraic topology

Requisitos
Conocimientos de homología (Curso básico).

Commentarios

Tema
Distribuciones y Transformada de Fourier

Objetivo
Objetivo
Dar a conocer a los estudiantes la teoría moderna de distribuciones y transformada de Fourier y sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales y Física Matemática.

Temario
1. Espacios de las funciones de prueba

2. Varios métodos para determinar una función.

3. Distribuciones.

4. Operaciones con distribuciones

5. Topología en los espacios de distribuciones

6. Diferenciación de distribuciones.

7. Soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales ordinarias.

8. La función de Green para problemas de frontera sobre un intervalo.
9. Espacios de Sobolev y sus aplicaciones a problemas mixtos

10 Transformada de Fourier en espacios de las funciones de prueba

11. Transformada de Fourier en espacios de las distribuciones

12. Aplicaciones de la transformada de Fourier para la construcción de la soluciones fundamentales de las EDP.

Bibliografía
1. F. G. Friedlander , M. Joshi. Introduction to the Theory of Distributions

2. A.I.Komech. A.A. Komech. 
Principles of Partial Differential Equations (Problem Books in Mathematics)

3. A.E.Merzon. Transformada de Fourier.

Requisitos
Análisis 1

Commentarios
Pido a los estudiantes interesados en tomar este curso, avisarme tan pronto como sea posible, a más tardar el 10 de agosto. Si no habrá estudiantes interesados antes de esta fecha el curso se cancelará.

Dr Anatoli Merzon, IFM.

Tema
Superficies Alegbraicas

Objetivo
Presentar la clasificación de Enriques-Kodaira de superficies algebraicas.

Temario
. Repaso de Cohomología de Chech y haces coherentes
.Teoría de interseccción y teorema de Riemann-Roch sobre superficies algebraicas.
. Superficies racionales, regladas y Teorema de Castelnuovo
. Clasificación de Enriques-Kodaira.

Bibliografía
Surfaces Algébriques Complexes A. Beauville, Asterisque 54, 1978
Algebraic Surfaces, L. Badescu, Springer Verlag Universitex, 2001.
Compact Complex Surfaces, W. Barth, C. Peters and A. Van de Ven, Spinger Verlag, 1984

Requisitos
Conocimientos previos de Geometría Algebraica equivalentes aproximadamente a los primeros 3 capítulos del Basic Algebraic Geometry de I. Shafarevich. Nociones de Teoría de Haces coherentes y cohomología son deseables, pero no indispensables.

Commentarios

Tema
Teoría Descritiva de Conjuntos

Objetivo
Introducir al alumno los conceptos y técnicas de la Teoría Descriptiva de Conjuntos para el estudio de los conjuntos definibles de reales y sus propiedades de regularidad, tales como la propiedad del conjunto perfecto, la propiedad de Baire, y medibilidad.

Temario
1.-Espacios Polacos
1.1. Definición y ejemplos
1.2. Árboles
1.3. Espacios métricos compactos
1.5. Espacios Polacos perfectos
1.6. Espacios cero-dimensionales
1.7. Categoría de Baire
2.- Propiedades de regularidad de subconjuntos de espacios Polacos
2.1. Juegos infinitos y determinación
2.2. La propiedad del conjunto perfecto
2.3. La propiedad de Baire
2.4. Medibilidad
3.- Subconjuntos definibles de espacios Polacos
3.1. Conjuntos Borel
3.2. Conjuntos Análiticos
3.3. Coanalíticos
3.4. Propiedades de regularidad de conjuntos analíticos
3.5. La jerarquía proyectiva
4.- Relaciones de equivalencia definibles, acciones de grupos y gráficas
4.1. Ejemplos de relaciones de equivalencia y acciones de grupos Polacos
4.2. Reducción Borel
4.3. Propiedad del conjunto perfecto para espacios cociente
4.4. Clasificaciones suaves
4.5. Gráficas definibles y coloraciones

Bibliografía
Kechris, Alexander S. Classical descriptive set theory. Graduate Texts in Mathematics, 156. Springer-Verlag, New York, 1995.

Moschovakis, Yiannis N. Descriptive set theory. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 155. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.

Requisitos
Conocimientos básicos de análisis real/topología general es deseable.

Commentarios

Tema
Teoría de representaciones de grupos

Objetivo
Introducir a los estudiantes en la teoría de representaciones de grupos.

Temario
1. Nociones básicas, primeros ejemplos.
2. Teorema de Maschke y lema de Schur.
3. Caracteres.
4. Producto interno de caracteres.
5. Tablas de caracteres y relaciones de ortogonalidad.
6. Producto tensorial de representaciones.
7. Restricción e inducción de representaciones.
8. Teoría de Clifford.
9. Enteros algebraicos y caracteres.
10. Representaciones del grupo simétrico.

Bibliografía
1. J.L. Alperin y R.B. Bell, Groups and representations. Springer, GTM 162, 1995.
2. C.W. Curtis e I. Reiner, Methods of representation theory, Wiley, Classics library, 1990.
3. I.M. Isaacs, Character theory of finite groups, Dover, reimpesión 1994.
4. G. James y A. Kerber, The representation theory of the symmetric group, En cyclopaedia of Mathematics and its Applications 16, Cambridge Univ. Press,
1985.
5. G. James y M. Liebeck, Representations and characters of groups, Cambridge Univ. Press, 2a. ed. 2001.
6. B.E. Sagan, The symmetric group: representations, combinatorial algorithms and symmetric functions, Springer, GTM 203, 2000.
7. J.P. Serre, Linear representations of finite groups, Springer, GTM 42, 1977.

Requisitos
Los únicos requisitos son tener conocimientos de álgebra lineal y teoría de grupos equivalentes a los de un curso de álgebra lineal y otro curso de álgebra moderna de nivel licenciatura.

Commentarios
Después de este curso los estudiantes podrán profundizar en la teoría de representaciones de grupos o de álgebras, o aplicar los conocimientos adquiridos a otras áreas dónde se estudien simetrías, por ejemplo combinatoria algebraica, geometría algebraica o topología algebraica.

Tema
Introduccion a pruebas de independencia

Objetivo
Desarrollar el metodo de "forcing"

Temario
1)Teoría de Conjuntos axiomática: Se recuerda brevemente el desarrollo de la Teoría de Conjuntos con la axiomatización de Zermelo-Freankel con el Axioma de Elección (ZFC). Se pondrá atención particular al Axioma de Regularidad y el Teorema de Recursión

2)Modelos de fragmentos de ZFC: Otra vez se recuerda brevemente lo más básico de la teoría de modelos, incluyendo el teorema de Loewenheim-Skolem

3)Órdenes parciales y álgebras booleanas: Brevemente se recuerdan resultados elementales de propiedades de órdenes parciales y sus completaciones.

4)Elementos de Forcing: Se desarrollará de una manera axiomática el método de forcing. La relación de forcing, nombres para elementos de la extesión.

5)La independencia de la hipótesis del continuo: Preservación de cardinales y cofinalidades, cuentas do nombres.

6)Forzando diamante: El problema de Whitehead, el Problema de Suslin.

7)Forcing iterado: condición de anticadenas numerables (ccc) y iteraciones de forcing con soporte finito.

8)Axioma de Martin: Consistencia de Axioma de Martin con aplicaciones: Problema de Suslin, la Conjetura de Kaplanski.

9)Temas mas avanzados: Preservaciones de conjuntos estacionarios, Forcing propio, Iteraciones con soporte numerable, la Conjetura de Borel, Axiomas de forcing fuertes y sus aplicaciones.

Bibliografía
Notas de curso estan en el proceso de elaboracion.

Requisitos
Conocimiento básico de Lógica matemática, Teoría de modelos y Combinatoria infinita y buen conocimiento de Teoría de Conjuntos clásica.

Commentarios

Tema
Análisis de Fourier

Objetivo
Conocer a los estudiantes de maestría y doctorado con los métodos modernos de Análisis de Fourier y su aplicaciones

Temario
1. Distribuciones
2. Transformada de Fourier.
3. Transformada de Fourier de S' y D'
4 Funcionales analíticos
5. Teorema de Paley-Wiener
6. Transformada de Fourier-Laplace de las distribuciones con soportes en conos.
5. Espacios de Sobolev
6. Teoremas de inyección compacta de Sobolev
7. Aplcaciones

Bibliografía
1. Mariana Forastieri. Introducci´on a los Espacios de Sobolev. Análisis Funcional
2. R. A. Adams (1975): Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.
3. FG Fiedlander, MJoshi. Introduction to the theory of distributions.

Requisitos
Cursos Análisis I, II de la Licenciatura en Fisica-Matematicas

Commentarios

Tema
Análisis de Sistemas Biológicos

Objetivo
Introducir al alumno al estudio de diferentes modelos matemáticos de sistemas biológicos basados en ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Estudiar herramientas matemáticas utilizadas para el análisis de estos sistemas. Analizar el planteamiento de conceptos de biología en matemática así como el uso de las matemáticas para recuperar implicaciones biológicas que el análisis matemático conlleva.

Temario
1) Modelos continuos para una sola población
* Modelos de crecimiento continuo.
* Crecimiento exponencial, logístico.
* Modelos con retraso.
* Análisis de modelos con retraso, existencia de soluciones periódicas y sus implicaciones.
* Modelo de población con cosecha.

2) Modelos de interacción de poblaciones
* Modelos de predador-presa
* Análisis de ciclos límites y comportamiento periódico de soluciones, estabilidad.
* Competencia, mutualismo.
* Fenómeno de umbral.
* Modelos epidemiológicos.

3) Modelos de descripción neuronal
* Mecanismos de potencial de acción.
* Modelo de Hodking-Huxley.
* Modelo de FitzHugh-Nagumo.
* Análisis cualitativo y análisis de bifurcación por medio de XPP y XPPAut.

4) Ondas en medios biológicos
* Existencia de pulsos en el modelo de FitzHugh-Nagumo.
* Ondas en modelos excitables.
* Frentes y ondas en modelos neurales promedio, ejemplos.
* Estabilidad lineal de ondas y función de Evans.

5) Modelos neurales promedio continuos
* Formulaciones basadas en redes neurales.
* Dinámica espaciotemporal de modelos neurales promedio continuos, ejemplos.
* La epilepsia como una enfermedad dinámica.
* Modelos y formulaciones para el estudio de epilepsia.

El objetivo del curso es cubrir la mayor cantidad de temas contenidos en el temario anteriormente establecido como el tiempo lo permita.

Bibliografía
*Murray J.D. Mathematical Biology I y II
*Mathematical Physiology, James Keener, James Sneyd
Interdisciplinary Applied Mathematics
*Milton, J.G. Epilepsy Behav (2010) Epilepsy as a dynamic disease: a tutorial of the past with an eye to the future
*Ermentrout B. Rep. Prog. Phys. (1998) Neural networks as spatio-temporal pattern-forming systems
*Bressloff P.C. J.Phys. A: Math.Theor. 45 (2012) Spatiotemporal dynamics of continuum neural fields
*XPP Tutorial, Bard Ermentrout.

Requisitos
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Teoría Cualitativa de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Commentarios

Tema
El Problema de Goldbach

Objetivo

Temario
1. El método del círculo en el problema de Goldbach

2. La criba de Vinogradov y la fórmula de Vaughan

3. Estimaciones de sumas trigonométricas con números primos

4. Teorema de Vinogradov sobre sumas de tres primos

Bibliografía
1. H. Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer Verlag, 1980.

2.A. A. Karatsuba, Fundamentos de la teoría analítica de los números, Editorial Mir Moscú, 1979.

Requisitos

Commentarios

Tema
Tópicos sobre funtores de Biconjuntos

Objetivo
Aprender sobre funtores de biconjuntos, en particular la clasificación de los funtores simples, de sus producto tensorial y sus aplicaciones a anillos de Burnside.

Temario
1. Funtores de Biconjuntos
El Funtor de Bunrsinde.
Funtores de Representaciones.
Funtores simples.

2. Producto Tensorial y Hom interno.
Limites en categorías
Producto tensorial
Hom interno
Funtores de Green
Funtor Global de representaciones
Generalizaciones.

3. Aplicaciones
Unidades en anillos de Burnside
El kernel del funtor linealización

Bibliografía
1. Serge Bouc. Biset Functors for finite groups. Springer. Lectures Notes in Matehmaticas 1990.
2. Serge Bouc. Handbook of Algebra Volume 2.(Abstract Representation Theory)
3. S. Mac Lane. Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag 1971

Requisitos
1. Algebra básica
2. Algebra homológica
3. algebra conmutativa

Commentarios

Tema
Algebra Homologica

Objetivo
Familiarizar al estudiante con los métodos homológicos.

Temario
1. Conceptos Generales
1.1 Categorías y funtores
1.2 Categorías abelianas
1.3 Limites y colimites.
1.4 Funtores adjuntos.

2. Complejos de Cadenas.

2.1 Complejos de modulos

2.2 Sucesiones exactas largas.

2.3 Homotopia

2.4 Conos de morfismos.
3. Funtores derivados
3.1 Resoluciones proyectivas e inyectivas.
3.2 Funtores derivados izquierdos y derechos.
3.3 Tor y Ext.

4 Dimension Homologica

4.1 Dimensiones
4.2 Algebras hereditarias algebras tensoriales algebras de carcaj.
4.3 Complejos de Koszul.

5. La Categoria Derivada.

5.1 La categoría de complejos de una categoría abeliana.
5.2 Categorías Trianguladas.
5.3 La categoría derivada.
5.4 Funtores Derivados izquierdos y derechos.

Bibliografía
Weibel An Introduction to homological algebra.
Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38

Requisitos
Algebra Moderna

Commentarios

Tema
Clasificación de difeomorfismos de una superficie.

Objetivo
Un resultado notable de W. Thurston establece que los difeomorfismos de una superficie en sí misma son de tres tipos (periódico, reducible o pseudo-Anosov) y los describe. El objetivo del curso es revisar la demostración de L. Bers de dicho teorema.

Temario
1. Repaso de transformaciones cuasiconformes, diferenciales cuadráticas y teorema de Teichmuller.
2. Ejemplos de homeomorfismos periódicos y reducibles.
3. Ejemplos y construcción de homeomorfismos pseudo-Anosov.
4. Demostración de Bers del teorema de clasificación para superficies compactas.
5. El caso de superficies con puntos removidos.
6. Números que son factores de dilatación de homeomorfismos pseudo-Anosov.

Bibliografía
J. Hubbard, Teichmuller Theory, Vol. II, Matrix Editions, 2016.
L. Bers, An extremal problem for quasiconformal mappings and a theorem by Thurston, Acta Math. 141, 1978, 73-98.

Requisitos
Familiaridad con superficies de Riemann.

Commentarios

Tema
Grupos de Lie y variedades complejas

Objetivo
El objetivo es exponer temas selectos de variedades con "muchas simetrías". Estas variedades aparecen en situaciones naturales y son aquellas en las que puede exhibirse explicitamente sus espacios de funciones, campos vectoriales, formas diferenciales.

Temario
-Grupos de Lie de matrices reales.
-Algebras de Lie.
-La correspondencia entre grupos y algebras de Lie.
-Ejemplos de acciones de grupos de Lie en variedades.
-Grupos de Lie complejos.
-Rudimentos de una y varias variables complejas.
-Variedades complejas.

Bibliografía
J. J. Duistermaat, J. A. Kolk:
Lie Groups.
Springer 2000.

Klaus Fritzsche, Hans Grauert:
From Holomorphic Functions to Complex Manifolds.
Springer 2002.

Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb:
Structure and Geometry of Lie Groups.
Springer 2012.

Requisitos
El curso supone conocimientos elementales de variable compleja y ecuaciones diferenciales.

Commentarios

Tema
Cohomología, Clases Características y Variedades

Objetivo
El objetivo del curso es profundizar en temas clásicos de topología algebraica: Cohomología, dualidad de poincaré, Clases características, Teoría K topológica y cálculos con sucesiones espectrales. De acuerdo a la audiencia, se pueden cubrir temas relacionados con análisis global y geometría spin o geometría algebraica.

Temario
Cohomología,
Dualidad de poincaré
Operaciones en cohomología
clases características.

Bibliografía
Hatcher, Algebraic topology.
Milnor y Stasheff, Characteristic Classes.
Mosher y Tangora. Operations in cohomology and applications in homotopy theory.

Requisitos
Dominio del curso básico de topología algebraica.

Commentarios

Tema
Curso de Geometría algebraica y diferencial compleja

Objetivo
Introducir al alumno a temas de geometría algebraica por medio de variedades complejas.

Temario
1. Resultados Básicos en Varias Variables Complejas.
2. Variedades Complejas y Variedades Analíticas.
3. Gavillas y Cohomología: Cohomología de De Rham, Dolbeault y Cech
4. Haces Vectoriales Holomorfos.
5. Divisores, Haces Lineales y Clases de Chern.
6. Introducción a la Teoría de Hodge( algunos resultados no se demostrarán)
7. Variedades Proyectivas Complejas y el Teorema del Encaje de Kodaira. (Si el tiempo lo permite)

Bibliografía
1. Principles of Algebraic Geometry. Phillip Griffitsh, Joe Harris. Editorial John Wiley & Sons 1994.
2. Complex Geometry. An Introduction. Daniel Huybrechts. Universitext, Springer-Verlag 2005.
3. Complex Algebraic Geometry. Kichoon Yang.
Marcel Dekker 1991.
4. Algebraic Geometry over the complex numbers. Donu Arapura. Universitext, Springer-Verlag 2012.

Requisitos
Curso solido de Variable Compleja y de Calculo en R^n: T. de la funci\'on implicita e inversa. Nociones elementales de Geometría Diferencial, Producto tensorial y un poco de álgebra multilineal.

Commentarios

Tema
La función zeta de Riemann

Objetivo

Temario
1). La función zeta de Riemann. Definición y propiedades básicas.

2). Continuación analítica. La ecuación funcional.

3). Teorema de Riemann-Mangoldt.

4). Fórmula de sumación de Perron.

5). La región libre de ceros.

6). Teorema de los números primos.

7). Ceros en la línea crítica.

Bibliografía
1). A. A. Karatsuba, Fundamentos de la Teoría analítica de los
números, Editorial Mir, 1979.

2). E. C. Titchmarsh, Riemann zeta-function, Second edition revised by D. R. Heath-Brown, 1986, Clarendon Press, Oxford.

Requisitos

Commentarios

Tema
Introducción al análisis asintótico y las funciones especiales

Objetivo
Conocer los estudiantes de maestria y doctorado con métodos asintóticas

Temario
1. Simbolismo O y o.
2.Integración y diferenciación de las expansiones asintóticas
3. Propiedades de las expansiones asintóticas
4. Función de Bessel
5. Asintóticas de las integrales de variable real. Integrales de Laplace y Fourier.
6. El método de la fase estacionaria.
7. Integrales sobre contornos. Lemma de Watson, el Método de Laplace, el Método de descenso.
8. Asintótica de la función de Bessel.

Bibliografía
F.W.J. Olver, Asymptotics ans special functions, New York, 1974

Requisitos
Análisis II

Commentarios
Si no tendré solicitudes antes de 15.12.2016, el curso no se abrirá

Tema
Teoría de distribuciones

Objetivo
Conocer a estudiantes de maestría y doctorado con la teoría de distribuciones y aplicaciones y prepararlos para impartir este curso en maestria.

Temario
1. Varios métodos para determinar una función. Distribuciones.

3. Operaciones con distribuciones.

4. Convergencia de distribuciones.

5. Diferenciación de distribuciones. Diferenciación de funciones suaves por trozos. Diferenciación del producto.

6. Soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales ordinarias.

7. La función de Green para problemas de frontera sobre un intervalo.

8. El método de construcción de la función de Green para problemas de frontera sobre el intervalo.

9. Las soluciones fundamentales del operador de Laplace.

Bibliografía
A.I.Komech, Book of practical PDE's. http://www.mat.univie.ac.at/~komech/articles/posobie.pdf

Requisitos
Analisi II, Algebra lineal I

Commentarios
Si no tendré solicitudes antes de 15.12.2016, el curso no se abrirá. Mi email: anatolimx@gmail.com

Tema
Transformada de Fourier

Objetivo
Conocer los estudiantes con la transformada de Fourier y sus aplicaciones en ecuaciones diferenciales. Preparar par dar impartir este curso.

Temario
1. Distribuciones. Delta-función. Funciones clásicas como distribuciones.
2 Espacio S y su transformada de Fourier.
3. Espacio S' y su transformada de Fourier.
4. Espacio D y su transformada de Fourier.
5. Espacio D' y su transformada de Fourier. Funcionales analíticos.
6. Teorema de Paley-Winer.
7. Aplicaciones de la transformada de Fourier a las ecuaciones diferenciales. Soluciones fundamentales.

Bibliografía
I.M. Gelfand, G.E. Shilov, Generalized function (se tiene en la forma electrónica.)

Requisitos
Analisi 2, Algebra lineal I.

Commentarios
Si no tendré

Tema
Gráficas aleatorias

Objetivo

Temario
1. Estadísticos de una gráfica aleatoria: medidas de centralidad, diámetro, distribución de grados, etcétera.

2. Algoritmos para el cálculo de los estadísticos.

3. Gráficas aleatorias con una distribución de grados predeterminada.

4. Valores propios de la matriz de adyacencia.

5. Ley semicircular de Wigner.

Bibliografía
Chung, F.; Lu, L. Complex graphs and Networks, American Mathematical Society, 2006.

Newman, M. Networks: an introduction, Oxford University Press, 2010.

Requisitos

Commentarios

Tema
Amenabilidad y teoría de Ramsey

Objetivo
Una pregunta relevante en la teoría geométrica de grupos es la siguiente: ¿es el grupo de Thompson F amenable? Dicha pregunta ha sido de interés desde su formulación a principios de los años 70’s y ha motivado diversas técnicas para poder obtener una respuesta a ella. El objetivo del seminario es revisar a detalle el enfoque de J. Moore para atacar la amenabilidad del grupo de Thompson desde la perspectiva de la teoría de Ramsey no asociativa.

Temario
1. Productos de medidas de probabilidad finito aditivas
2. Medidas idempotentes
3. Un criterio tipo Ramsey para amenabilidad
4. El problema de amenabilidad para el grupo de Thompson F
5. Funciones Ramsey vs funciones Følner
6. Un criterio para no amenabilidad
7. Teoría estructural de Ramsey y teoría KPT
7. Teoría de Ramsey no asociativa

Bibliografía
Moore, Justin Tatch A brief introduction to amenable equivalence relations. Preprint.
Lodha, Yash; Moore, Justin Tatch A nonamenable finitely presented group of piecewise projective homeomorphisms. Groups Geom. Dyn. 10 (2016), no. 1, 177–200.
Tatch Moore, Justin Hindman's theorem, Ellis's lemma, and Thompson's group F. Zb. Rad. (Beogr.) 17(25) (2015), Selected topics in combinatorial analysis, 171–187.
Moore, Justin Tatch Fast growth in the Følner function for Thompson's group F. Groups Geom. Dyn. 7 (2013), no. 3, 633–651.
Moore, Justin Tatch Amenability and Ramsey theory. Fund. Math. 220 (2013), no. 3, 263–280.
Kechris, A. S.; Pestov, V. G.; Todorcevic, S. Fraïssé limits, Ramsey theory, and topological dynamics of automorphism groups. Geom. Funct. Anal. 15 (2005), no. 1, 106–189.

Requisitos
Familiaridad con el semigrupo formado por los ultrafiltros sobre los números naturales así como con resultados tipo Ramsey sería deseable.

Commentarios

Tema
Análisis de Fourier en Teoría de Números

Objetivo

Temario
1. Distribución uniforme de sucesiones.
2. Criterio de Weyl.
3. Método de Van der Corput.
4. Teorema del valor medio de Vinogradov.

Bibliografía
Hugh L. Montgomery, Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis.

Requisitos

Commentarios

Tema
Geometría Algebraica Moderna

Objetivo
Permitir al alumno de conocer y usar los conceptos y herramientas de la Geometría Algebraica Moderna.

Temario
i- Recordatorio: Geometría Algebraica Clásica.
ii- Esquemas (Esquemas afines, Esquemas, Beneficios de trabajar con esquemas)
iii- Variedades y Gavillas
iv- Cohomología de Gavillas
v- Blowing-up global

Bibliografía
Título: Algebraic Geometry.
Autor: Robin Harshorne.
Springer-Verlag 1977

Requisitos
Geometría Algebraica Clásica.

Commentarios

Tema
Grupo modular de Teichmüller y el espacio de Teichmüller

Objetivo
El objetivo del curso es dar una visión panorámica del grupo modular de Teichmüller, y su relación con los distintos complejos de curvas y el espacio de Teichmüller; todo esto haciendo énfasis en los métodos geométricos y combinatorios utilizados en las demostraciones.

Temario
1. Definición y ejemplos del grupo modular.
2. Definición y propiedades de giros de Dehn.
3. Aplicaciones de los giros de Dehn.
4. Complejos de curvas.
5. Generadores del grupo modular.
6. Presentación del grupo modular.
7. Homomorfismos del grupo modular.
8. Definiciones del espacio de Teichmüller.
9. Propiedades básicas del espacio de Teichmüller.
10. Acción del grupo modular.
11. Isometrías del espacio de Teichmüller.
12. Geometría (a gran escala) del grupo modular y del espacio de Teichmüller.

Bibliografía
B. Farb, D. Margalit - A primer on mapping class groups.
A. Hatcher, W. Thurston - A presentation for the mapping class group of a closed orientable surface.
N.V. Ivanov - Automorphisms of Complexes of Curves and of Teichmüller Spaces
J. Hubbard - Teichmüller theory and its applications to geometry, topology and dynamics.
Y. Imayoshi, M. Taniguchi - An introduction to Teichmüller spaces.
H. Masur, Y. Minsky - Geometry of the complex of curves I

Requisitos
Conocimientos básicos de topología algebraica (homotopías y espacios cubrientes).
Conocimientos básicos de geometría diferencial (variedades hiperbólicas, diferenciales)

Commentarios

Tema
Forcing iterado

Objetivo
enseñar tectónicas avanzadas del metido de forcing.

Temario
Proper forcing
Teoremas de preservación bajo de iteraciones con soporte numerable
Consistencia de la Conjetura de Borel
Modelo de Sacks y el teorema de Miller
Modelo de Miller y la consistencia de NCF
EL diamante de Laver y Axioma de Forcing Propio

Bibliografía
Bartoszynski Judah: Set-theory:On the structure of the real line
Shelah: Proper and Improper forcing

Requisitos
Curso de forcing

Commentarios

Tema
Teorema del limite central

Objetivo

Temario
1. Espacios de Probabilidad, variables aleatorias y distribuciones
1.1 Espacios y funciones medibles
1.1.1 Definiciones básicas y ejemplos
1.1.2 Lemas de clases monótonas
1.2 Espacios de medida y de probabilidad
1.2.1 Definiciones básicas y ejemplos
1.2.2 Distribuciones o leyes de probabilidad
1.2.3 Fui de distribución
1.2.4 Construcción del espacio de probabilidad asociado a una función de distribución. (Opcional). 1.3 Espacios y medidas producto, e independencia.

2. Esperanza y momentos de variables aleatorias, probabilidad y esperanza condicional
2.1 Integral de Lebesgue, esperanzas de funciones de variables aleatorias, momentos y Teorema de cambio de variable.
2.2 Probabilidad y Esperanza Condicional
2.2.1 Esperanza Condicional y sus propiedades elementales
2.2.2 Probabilidad Condicional
2.2.3 Distribuciones Condicionales

3. Leyes de los grandes números y el Teorema del limite central
3.1 Tipos de convergencia
3.1.1 Casi segura, en probabilidad, en Lp
3.1.2 Débil, o en distribución
3.2 Lema de Borel-Cantelli
3.3 Leyes de los grandes números
3.3.1 Ley débil de los grandes números
3.3.2 Ley fuerte de los grandes números, con cuarto momento finito
3.4 El Teorema del límite central
3.4.1 Función Característica y Teorema de Continuidad de Lévy (sin demostración)
3.4.2 Teorema del límite central para variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas en L2
3.5 Ley del logaritmo iterado, sin demostración

Bibliografía
John B. Walsh
Knowing the Odds: An Introduction to Probability
American Mathematical Society

Samuel Karlin
A First Course in Stochastic Processes
Academic Press

V. Petrov y E. Mordecki
Teoria de las probabilidades
Editoria URSS

Requisitos

Commentarios

Tema
Teorema de continuidad de Levy y leyes estables e infinitamente divisibles

Objetivo

Temario
1. Funciones características
1.1 Definiciones y ejemplos
1.2 Unicidad de la función característica
1.3 Teorema de inversión de Fourier
1.4 Teorema Central de Límite Multivariado
1.5 Arreglos triangulares y teorema de Lindeberg

2. Suma de variables aleatorias independientes
2.1 Teorema de equivalencia de Levy
2.2 Teorema de las tres series

3. Teorema de continuidad de Levy y leyes estables e infinitamente divisibles
3.1 Teorema de continuidad de Levy
3.2 Leyes infinitamente divisibles
3.3 Fórmulas de Levy-Khinchin
3.4 Leyes estables

4. El espacio C
4.1 Caracterizaciones de convergencia débil
4.2 Convergencia débil y tensión de medidas en el espacio C
4.3 Teorema de Donsker

5. El espacio D
5.1 Topología de Skorohod
5.2 Completez del espacio D
5.3 Convergencia débil y tensión en el espacio D
5.4 Funciones de distribución empíricas
5.5 Extensiones del teorema de Donsker

Bibliografía
John B. Walsh
Knowing the Odds: An Introduction to Probability
American Mathematical Society

Samuel Karlin
A First Course in Stochastic Processes
Academic Press

V. Petrov y E. Mordecki
Teoria de las probabilidades
Editoria URSS

Requisitos

Commentarios

Tema
Estudio de campos neurales.

Objetivo
Introducir al alumno a la formalidad de campos neurales. Estudio de enfermedades y fenómenos dinámicos, a través de campos neurales. Determinación de existencia y estabilidad de patrones espacio-temporales en campos neurales.

Temario
1. Epilepsia como un sistema dinámico.
* Básicos en Modelos de Redes Neuronales.
* Modelos de campo medio basados en actividad y voltaje.
* Epilepsia y estructura de redes.

2. Existencia de ondas viajeras en campos neurales.
* Existencia de ondas medios excitables.
* Soluciones exactas y soluciones perturbadas singularmente.
* Propagación de Ondas en medios heterogéneos de campo neurales.
* Disrupción de propagación de actividad.

3. Estabilidad lineal de ondas viajeras en campos neurales.
* Repaso de operadores diferenciales lineales, espacios de funciones, Teorema de Alternativa de Fredholm y Espectro de operador diferencial lineal.
* Determinación del espectro continuo.
* Determinación del espectro puntual.
* Ejemplos

4. Simulación numérica de modelos de campo neurales
* Uso de software, como lo es XPP, para simulación numérica de modelos de EDO y EDP.
* Exploración numérica de existencia de pulsos estacionarios y pulsos viajeros en campos neurales.

Bibliografía
Epilepsy as a Dynamic Disease
John Milton
Springer

Mathematical Foundations on Neuroscience (Capitulo 6)
G.B.Ermentrout
Springer

Waves in Neural Media (Capitulo 2, 6, 7 y 9)
P.C. Bressloff
Springer

Spectral and Dynamical Stability of Nonlinear Waves
T. Kapitula, K. Promislow

Manual de XPP-XPPAut
Bard Ermentrout

Requisitos
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Commentarios

Tema
Funtores de Green de biconjuntos y las construcciones "mas"

Objetivo
Estudio de los Funtores de Green de Biconjuntos, en particular el estudio de los desplazados de los anillos de caracteres y de las construcciones mas pero en la categoría de Funtores de Green.

Temario
1. Repaso de las propiedades básicas los Funtores de biconjuntos y de Green de biconjuntos.
2. Estudio de los desplazados de los anillos de caracteres.
3. El álgebra esencial sobre estos funtores.
4. Estudio de los módulos simples sobre estos funtores
5. Las construcciones "mas" en la categoría de Funtores de Biconjuntos
6. Estructura multiplicativa en las construcciones "mas"

Bibliografía
[1] Laurence Barker. Rhetorical biset functors, rational p-biset functors and their semisimplicity in characteristic zero. Journal of Algebra, 319:3810{3853, 2008.

[2] Serge Bouc. Biset functors for nite groups. Springer, Berlin, 2010.

[3] Maxime Ducellier. Foncteurs de p-permutation. Tesis de doctorado, Universite de Picardie, Francia, 2015.

[4] Markus Linckelmann and Michal Stolorz. On simple modules over twisted finite category algebras. Proceedings of the Amer. Math. Soc., 140:3725{3737, 2012.

[5] N. Romero. Simple modules over Green biset functors. Journal of Algebra, 367:203{221, 2012.

[6] Boltje, Robert. A general theory of canonical induction formulae. J. Algebra 206 (1998), no. 1, 293–343.

[6] N. Romero. On fibred biset functors with fibres of order prime and four. Journal of Algebra, 387:185{194, 2013.

Requisitos
Curso de Funtores de Biconjuntos.

Commentarios

Tema
Combinatoria Algebraica

Objetivo

Temario
1. Combinatoria de tablas de Young.

2. Representaciones del grupo simétrico.

3. Funciones simétricas.

Bibliografía
[1] W. Fulton, Young Tableaux, London Mathematical Society. Student texts 135. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.

[2] I.~G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University Press, Oxford, 1995.

[3] B. Sagan, The Symmetric Group. Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions, Springer Verlag, 2001.

Requisitos
Un curso introductorio de Representaciones de Grupos.

Commentarios

Tema
Introducción a la Teoría de Nudos

Objetivo
Aprender los invariantes clásicos para clasificar nudos (número de cruces, número de desanudamiento, grupo fundamental...) para que así los alumnos tengan un panorama del tipo de problemas que aparecen en el estudio de los nudos.

Temario
1 - Definiciones
1.1 Definiciones de nudos y enlaces.
1.2 Ejemplos de nudos y enlaces
1.3 Diagramas de un nudo y movimientos de Reidemeister
1.4 Ejemplos de nudos salvajes
1.5 Coloración y número de cruces

2 - Grupo fundamental de un nudo
2.1 Definición del grupo de un nudo y ejemplos
2.2 Presentación de Wirtinger
2.3 Nudos Toroidales

3 - Superficies de Seifert
3.1 Definición y ejemplos de superficies de Seirfert de un nudo
3.2 Algoritmo de Seifert
3.3 Superficies de Seifert incompresibles

4 - Cirugía en en enlaces y 3-variedades
4.1 Espacios Lente
4.2 Diagramas de Hegard
4.3 Cirugía en 3-variedades
4.4 Teorema de Lickorish

Bibliografía
1 - Knots and Links - Dale Rolfsen
2 - Introduction to Knot Theory - Richard Crowell & Ralph Fox
3 - An Introduction to Knot theory - Raymond Lickorish

Requisitos
1 - Topologia Algebraica (grupo fundamental, cubrientes y un poco de homología)
2 - Teoría de grupos

Commentarios
Los temas del curso se adaptaran al perfil de los alumnos que decidan tomar el curso.

Tema
Noncommutative Kähler Structures and Spectral Triples

Objetivo
preparación para la investigación en geometría no-conmutativa

Temario
1) Covariant Differential Calculi on Quantum Homogeneous Spaces
* quantum homogeneous spaces, faithful flatness, Takeuchi’s equivalence of categories, Hopf-Galois extensions
* The maximal prolongation of a first order calculus to a total calculus, covariant calculi on a quantum homogeneous space, Hermisson’s classification, the maximal prolongation of a covariant calculus in terms of its classifying ideal, classification of bicovariant calculi on a Hopf algebra, quantum principal bundles
* coquasitriangular Hopf algebras, the quantum Killing form Q, the bicovariant calculus corresponding to the Q
* the Hopf algebras Oq(SUn) and Oq(Un), quantum projective space Oq(CPn) as a homogeneous Hopf-Galois extension, the coquasitriangular structure of Oq(SUn) and the associated bicovariant calculus, the Heckenberger-Kolb classification for Oq(CPn), the Q-presentation of the Heckenberger-Kolb calculus of CPn

2) Noncommutative Complex and Kähler Structures
* almost complex structures, integrability and complex structures, covariant complex structures and their classification via Takeuchi’s correspondence
* noncommutative symplectic structures, Lefschetz decomposition, noncommutative Hermitian and Kähler structures
* existence and uniqueness of the covariant complex and Ka ̈hler structure of Oq(CPn)
* Hodge maps, Lefschetz identities, Kälher identities, Hodge decomposition, compact quantum group algebras, refinement of de Rham cohomology by Dolbeault cohomology, the hard Lefschetz theorem
* the cohomology of the calculus

3) Kähler-Dirac Specral Triples
* discussion of the definition of a spectral triple along with some basic K-theory and K-homology
* Kähler-Dirac operators D, the associated Hilbert space, boundedness of commutators, boundedness of the Lefschetz and Hodge operators, closure and self-adjointness of D, the index of D and holomorphic Euler characteristics
* the index and spectrum of the Kähler-Dirac operator of Oq(CPn) and a proof that it gives a spectral triple

Bibliografía
[1] T. Brzezinski, Galois Structures, https://www.impan.pl/swiat-matematyki/ notatki-z-wyklado~/brzezinski_gs.pdf, (2008).
[2] D. Huybrechts, Complex geometry, An Introduction, Springer, Universitext, 2004.
[3] A. Klimyk, K. Schmüdgen, Quantum Groups and their Representations, Springer-Verlag 1997.
[4] S. Majid, A Quantum Groups Primer, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press, 2002

Requisitos
conocimiento básico en geometría diferencial, grupos de Lie y grupos cuánticos

Commentarios
Seminario conjunto con el investigador postdoctoral Réamonn Ó Buachalla del programa Horizon 2020. El seminario se impartará en inglés.

Tema
Haces Fibrados

Objetivo
Estudiar teoria de fibraciones, deferentes contextos donde aparecen, diferentes métodos de construcción y su clasificacion.

Temario
1. Espacios fibrados
2. Teoria de homotopia asociada a espacios fibrados
3. Cohomología singular
3. Clasificación de fibrados.
4. Temas selectos.

Bibliografía
1. N. Steenrod, Topologia de haces fibrados, Princeton University press.
2. Hatcher, vector bundles and characteristic classes.

Requisitos
1. Curso básico de topologia algebraica.
2. Curso básico de álgebra

Commentarios
Las clases seram lunes-martes y miércoles en la mañana.

Tema
Marcos continuas en espacios de Krein

Objetivo
curso introductorio para una tesis de maestría

Temario
1. Marcos discretos en espacios de Hilbert
* Definición de Marcos
* El operador pre-marco, el operador de sintesis y el operador de marco
* Marcos y operadores
* Propiedades de marcos el marco dual

2. Marcos continuos en espacios de Hilbert
* Definición de Marcos continuos
* El operador pre-marco, el operador de sintesis y el operador de marco para Marcos continuos
* Marcos continuos y operadores
* Propiedades de marcos el marco dual
* estados coherentes

3. Espacios de Krein
* Espacios con producto interior indefinido
* Vectores ortogonales, vectores isotópicos
* Subespacios maximales no-degenerados y neutrales
* Proyecciones
* Descomposición fundamental
* Definicion de espacios de Krein
* Operadores en espacios de Krein
* espacios de Krein con W-métrica

4. Marcos continuos en espacios de Krein
* Definición de Marcos continuos en espacios de Krein
* El operador pre-marco, el operador de sintesis y el operador de marco para Marcos continuos en espacios de Krein
* Marcos continuos en espacios de Krein y operadores asociados
* Propiedades de marcoscontinuos en espacios de Krein
* Marco dual
* Relación con estados coherentes
* Ejemplos

Bibliografía
1. O. Christensen: Frames and bases. An introductory course. Birkhäuser, Boston, 2008.

2. D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber: Frames for undergraduates. Student Mathematical Library, 40. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

3. J. Bognár: Indefinite inner product spaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1974.

4. S.T. Ali, J.P. Antoine, J.P. Gazeau: Continuous Frames in Hilbert Space, Annals of Physics 222 (1993), 1-37.

Requisitos
Análisis Funcional I

Commentarios

Tema
Teoría de Representaciones de Algebras

Objetivo
Curso introductorio.

Temario
1. Nociones de Teoría de Categorías
2. Teoremas de Morita
3. Anillos de Artin
4. Algebras de Artin
5. El dual y el transpuesto
6. Sucesiones de Auslander- Reiten
7. Tipo finito

Bibliografía
[1] Jacobson, N. Basic Algebra II, W. H- Freeman & Co. 1989.
[2] Auslander M, Reiten I, Smalo, S. Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge Univ. Press, 1995.
[3] Assem, I, Simson, D, Skowronski A. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, London Math. Soc Student Texts 65, Cambridge Univ. Press, 2006.

Requisitos
Algebra Moderna y Algebra Homológica.

Commentarios

Tema
Transformada de Fourier

Objetivo
Dar a conocer a los estudiantes de maestría y doctorado con uno de los métodos mas importantes del Análisis y mostrar algunas de sus numerosas aplicaciones.

Temario
Transformada de Fourier clásica. Motivación.
Propiedades básicas
Teorema de inversión
Teoremas de Plancherel y Parseval.
Diferenciación.
Teorema de convolución.
Trasformada de Fourier compleja.
Distribuciones temperadas.
Transformada de Fourier de distribuciones.
Funcionales analíticos
Aplicaciones.
Distribuciones.
Transformada de Fourier de distribuciones.
Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Bibliografía
F.G.Friedlander, M. Joshi, Introduction to the theory of distributions (pdf)

A.H.Zemanian. Distribution Theory and Transform Analysis. An Introduction to Generalized Functions, with Applications (PDF)

I.M.Gelfand y G.E.Shilov. Generalized Functions. Volume I: Properties and Operations (PDF)

A.Merzon. Transformada de Fourier (PDF)

Requisitos
Análisis I,II,III de Licenciatura.

Commentarios
1) El temario se puede modificarse conforme a los deseos e intereses individuales de estudiantes.
2) El curso se acompañará con ejercicios, los cuales ayudan a entender informalmente las ideas principales del curso.

Tema
Soluciones fundamentales de las ecuaciones diferenciales

Objetivo
Dar a conocer a los estudiantes de maestría y doctorado con el concepto de las soluciones fundamentales de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Temario
Función delta de Dirac
Distribuciones y sus propiedades básicas
Soluciones fundamentales de las ecuaciones ordinarias. Ejemplos.
Convolución.
Motivación. Solución particular de las ecuaciones no homogéneas como una convolución con la solución fundamental.
Problema de Sturm-Liouville.
Soluciones fundamentales de las ecuaciones parciales:
a) de Laplace
b) de Helmholtz
c) de calor
d) de ondas
Aplicaciones

Bibliografía
V. S. Vladimirov. Generalized Functions Mathematical Physics (PDF)

A.I. Komech, A.A. Komech, Principles of Partial Differential Equations, Springer, 2009. (PDF)

Requisitos
ANALISIS 1,2,3, EDO I, Licenciatura.

Commentarios
1) El temario se puede modificarse conforme a los deseos e intereses individuales de estudiantes.

2) El curso se acompañará con ejercicios, los cuales ayudan a entender informalmente las ideas principales del curso.

3) el curso va a ser interactivo con una discusión libre

Tema
Soluciones fundamentales de las ecuaciones diferenciales

Objetivo
Dar a conocer a los estudiantes de maestría y doctorado con el concepto de las soluciones fundamentales de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Temario
Función delta de Dirac
Distribuciones y sus propiedades básicas
Soluciones fundamentales de las ecuaciones ordinarias. Ejemplos.
Convolución.
Motivación. Solución particular de las ecuaciones no homogéneas como una convolución con la solución fundamental.
Problema de Sturm-Liouville.
Soluciones fundamentales de las ecuaciones parciales:
a) de Laplace
b) de Helmholtz
c) de calor
d) de ondas
Aplicaciones

Bibliografía
V. S. Vladimirov. Generalized Functions Mathematical Physics (PDF)

A.I. Komech, A.A. Komech, Principles of Partial Differential Equations, Springer, 2009. (PDF)

Requisitos
ANALISIS 1,2,3, EDO I, Licenciatura.

Commentarios
1) El temario se puede modificarse conforme a los deseos e intereses individuales de estudiantes.

2) El curso se acompañará con ejercicios, los cuales ayudan a entender informalmente las ideas principales del curso.

3) el curso va a ser interactivo con una discusión libre

Tema
Transformada de Fourier

Objetivo
Solución de problemas del curso Análisis avanzado

Temario
Solución práctica de los problemas conectados con la búsqueda de la Transformada de Fourier de las distribuciones.

Bibliografía

Requisitos

Commentarios
El seminario puede ayudar al estudio de mi curso Análisis Avanzado: transformada de Fourier

Tema
Soluciones fundamentales de las ecuaciones diferenciales

Objetivo
Practicarse en la solución de los problemas de mi "Curso avanzado de ecuaciones diferenciales"

Temario
véase mi "Curso avanzado de ecuaciones diferenciales"

Bibliografía
véase mi "Curso avanzado de ecuaciones diferenciales"

Requisitos
véase mi "Curso avanzado de ecuaciones diferenciales"

Commentarios
El seminario tendrá un formato de discusión informal.

Tema
C*-álgebras

Objetivo
El objetivo del curso es dar una introducción a las C*-álgebras, presentar la teoría espectral, mencionar la relación de C*-álgebras con la mecánica cuántica, y demostrar los dos importantes teoremas de estructura.

Temario
Teoría básica de C*-álgebras
Definiciones
Ejemplos
Propiedades básicas

Teoría espectral
El espectro de un elemento
La formula del radio espectral y sus consecuencias
Ideales y homomorfismos
Espectro de una C*-álgebra conmutativa
Representación de Gelfand de C*-álgebras conmutativas

Representaciones de C*-álgebras en espacios de Hilbert
Elementos positivos
Funcionales positivos y estados
La representación GNS
El teorema de Gelfand-Naimark

Teorema espectral de operadores normales
Medidas a valores en proyecciones
Teorema de representación de Riesz-Markov
Medidas espectrales
Cálculo funcional continuo de operadores normales
El teorema espectral y su demostración

Bibliografía
G. J. Murphy: C*-algebras and operator theory, Academic Press, Boston, 1990.

J. B. Conway: A Course in Functional Analysis, Springer, New York, 1985.

G. K. Pedersen: C*-algebras and their automorphism groups, Academic Press, London, 1979.

N. E. Wegge-Olsen: K-Theory and C*-Algebras: A Friendly Approach, Oxford University Press, New York, 1993.

Requisitos
Análisis Funcional I

Commentarios

Tema
Grupos de Artin de ángulo recto

Objetivo
El objetivo del curso sería presentar la idea de un grupo de Artin de ángulo recto (RAAG'S) de un grafo simplicial. Se verían propiedades básicas, su impacto en el problema de isomorfismo, y finalmente se daría un vistazo al problema de inyección de un RAAG en el grupo de automorfismos del grafo subyaciente (con enfoque en el grupo modular de Teichmüller de una superficie).

Temario
1. Definiciones de grupos de Artin y Coxeter.
2. Propiedades y herramientas básicas.
3. (Elementos básicos de) Teoría de Morse combinatoria.
4. Subgrupos de grupos de Artin.
5. Problema de isomorfismo.
6. Inyecciones de RAAG's.

Bibliografía
1. T. Koberda - Right-angled Artin groups and their subgroups. Course notes, 2013.
2. M.R. Bridson - On the subgroups of right-angled Artin groups and mapping class groups. Math. Res. Lett. 20, no. 2, 2013.
3. K. S. Brown - Cohomology of groups. Graduate Texts in Mathematics, no. 87, Springer, New York, 1982.
4. B. Farb, D. Margalit - A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, 2012.
5. T. Koberda, Sang-Hyun Kim - An obstruction to embedding right-angled Arting groups in mapping class groups. Int. Math. Res. Notices 2014, no 14. 2014.
6. M. Clay, C. Leininger, J. Mangahas - The geometry of right-angled Artin subgroups of mapping class groups. Groups, Geom., Dyn. 6, no. 2 2012.
7. M. Bestvina, N. Brady - Morse theory and finiteness properties of groups. Invent. Math. 129, 1997.

Requisitos
Conocimiento básico de Teoría de grupos.
Conocimiento básico de Topología algebraica.

Commentarios
Habrán artistas (locales) invitados.

Tema
Teoría de Juegos

Objetivo
Una introducción tanto a la teoría de juegos combinatorios como a la teoría económica de Juegos.

Temario
Parte 1: Juegos de 2 personas de suma 0.
* Información completa vs Información incompleta
* Árboles y Matrices
* Dominación
* Estrategias mixtas
* Teoría de Utilidad
* Juegos contra la naturaleza
* Aplicaciones


Parte 2: Juegos de 2 jugadores sin suma 0.
* Equilibrio de Nash y soluciones no cooperativas.
* Dilema del prisionero y aplicaciones
* Estrategias
* Biología: Estrategias evolutivamente estables.
* Soluciones cooperativas.
* Juegos repetidos
* Subastas

Parte 3: Juegos Combinatorios
* Introducción
* Hackenbush, cutcake
* Números diádicos como juegos
* Construcción de los números surreales
* Juegos imparciales
* Números de grundy y teorema de Sprague-Grundy

Parte 4: Algoritmos
* Codificación de juegos
* Juegos combinatorios
* Heurísticas y $\alpha$-$\beta$-prunning.
* Equilibrio de Nash
* Complejidad
* Aprendizaje

Parte 5: Juegos de $N$ jugadores
* Introducción y problemas con juegos de más de 2 personas
* Tragedia de los comunes
* Funciones de Nucleolus y Shapley.
* Aplicaciones a Biología, Economía, Política.
* Poblaciones.

Bibliografía
Straffin, Phillip. Game Theory and Strategy. New Mathematical Library.
Berlekamp, E. R., Conway, J. H., & Guy, R. K. (1982). Winning ways, for your mathematical plays. London: Academic Press

Requisitos
Matemáticas Discretas básicas, un poco de cálculo y álgebra lineal. Algoritmos y programación básica.

Commentarios

Tema
Marcos continuos en espacios de Krein

Objetivo
combinar las teorías de marcos continuos en espacios de Hilbert y de marcos discretos en espacios de Krein para una nueva teoría de marcos continuos (de rango n) en espacios de Krein

Temario
1. Marcos en espacios de Hilbert
1.1. Marcos discretos en espacios de Hilbert
1.2. Marcos continuos en espacios de Hilbert

2. Marcos en espacios de Krein
2.1. Marcos discretos en espacios de Krein
2.2. Marcos continuos en espacios de Krein

3. Ejemplos
3.1. Marcos continuos en espacios con W-métrica
3.2. Estados coherentes en espacios de Krein

4. Marcos continuos y espacios con kernel reproductor
4.1. Marcos continuos y espacios de Hilbert con kernel reproductor
4.2. Marcos continuos y espacios de Krein con kernel reproductor

Bibliografía
O. Christensen: Frames and bases. An introductory course. Birkhäuser, Boston, 2008.

G. Kaiser: A Friendly Guide to Wavelets. Birkäuser, Boston, 1994.

S.T. Ali, J.-P. Antoine, J.-P. Gazeau: Coherent States, Wavelets and their Generalizations. Springer, New York, 2000.

J. Bognár: Indefinite inner product spaces. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1974.

Requisitos
conocimiento básico sobre espacios de Krein y la teoria de marcos en espacios de Hilbert

Commentarios

Tema
Topología Algebraica

Objetivo
Se cubrirán los requisitos básicos del curso de topología algebraica del programa del posgrado.

La topología algebraica estudia los espacios topológicos utilizando como herramienta al álgebra.

Es el primer curso donde aparece una interacción directa entre dos áreas de la matemática pura moderna.

La topología algebraica es una herramienta de uso cotidiano en la geometría algebraica, la física matemática y la geometría diferencial.

Temario
Grupo Fundamental
Nociones Básicas de Homotopía
Homotopía y complejos CW
Aplicaciones Cubrientes
Homología simplicial y celular.
Otras Teorías de Homología.
Aspectos computacionales.

Bibliografía
HATCHER, Algebraic topology
PRIETO. Topología Básica.
MASSEY, A BASIC COURSE IN ALGEBRAIC TOPOLOGY

- SPANIER, E, ALGEBRAIC TOPOLOGY

- AGUILAR, M. A., S. GITLER y C. PRIETO. ALGEBRAIC TOPOLOGY FROM A HOMOTOPICAL VIEWPOINT.

Requisitos
Conocimiento de nociones básicas de topología: Continuidad.
Conocimiento de nociones básicas de álgebra: Grupo y anillo.

Commentarios

Tema
Geometría Discreta

Objetivo
Dar a conocer los temas que abarca la geometría discreta así como los problemas abiertos más relevantes del área.

Temario
1 Convexidad
Definición y propiedades
Teoremas de Helly y Radon
Punto central y Ham-sandwich

2 Puntos en posición convexa
Teorema de Erdős-Szekeres
Conjuntos de Horton

3 Latices
Teorema de Minkowsky
Latices generales y aplicaciones

4 Patrones de intersección de conjuntos convexos
Teorema de Helly fraccional
Teorema de Caratheodory coloreado
Teorema de Tverberg

5 Teoremas de selección geométrica
El primer lema de selección
El segundo lema de selección
Tipos de orden y otros lemas de selección

Bibliografía
Matoušek, Jiří. Lectures on discrete geometry. Vol. 212. Springer Science & Business Media, 2002.

Brass, Peter, William OJ Moser, and János Pach. Research problems in discrete geometry. Springer Science & Business Media, 2006.

Requisitos
Cálculo, Combinatoria básica (conteo y gráficas) y un poco de probabilidad.

Commentarios
El temario puede cambiar ligeramente de acuerdo con el interés de los estudiantes

Tema
Introducción a Teoría Geométrica de Grupos

Objetivo
El objetivo del curso es poder presentar al estudiante una forma de estudiar los grupos a través de sus acciones en espacios métricos y estudiar la geometría intrínseca de los grupos.
La idea es ir construyendo desde cero las bases necesarias para comprender mejor la geometría (a gran escala) de un grupo finitamente generado, eventualmente enfocándonos a la comprensión de las propiedades y características básicas de los grupos (Gromov-)hiperbólicos.

Temario
1. Preliminares de teoría de grupos.
2. Acciones de grupos en árboles.
3. Lema de Ping-pong.
4. Equivalencias a gran-escala.
5. Tipos de crecimiento.
6. Espacios de fines.
7. Espacios hiperbólicos.
8. Grupos hiperbólicos.

Bibliografía
1. C. Löh - Geometric group theory: an introduction. Downloadable version (personal webpage). 2015.
2. P.W. Novak, G. Yu - Larga-scale geometry. EMS textbooks in mathematics. ISBN 9783037191125. 2012.
3. E. Ghys, P. de la Harpe - Sur les Groupes Hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3508-4. 1990.
4. B.H. Bowditch - A course on geometric group theory. Preprint downloadable version (personal webpage). 2005.
5. B.H. Bowditch - Uniform hyperbolicity of the curve graphs. Pacific J. Math. 269 (2), 269-280. 2014.
6. N.V. Ivanov - A short proof of non-Gromov hyperbolicity of Teichmüller spaces. Annales Academiae Scientiarum Fennicae Mathematica, 27 (1), 3-5. 2002.
7. C. Drutu, M. Kapovich - Lectures on Geometric Group Theory. Preprint downloadable version.
8. J. Meier - Groups, graphs and trees: an introduction to the geometry of infinite groups. Cambridge University Press. ISBN - 9781139167505. 2008.

Requisitos
Conocimientos básicos de teoría de grupos.
Conocimientos básicos de espacios métricos.
No es necesario, pero sí es útil tener conocimientos básicos de topología algebraica y variedades Riemannianas.

Commentarios
Instrucción conjunta con el Dr. Noé Bárcenas Torres.
Si lo permite el tiempo, habrán artistas invitados.

Tema
Grupos discretos de isometrías eucidianas

Objetivo

Temario
1 Introducción
1.1 Isometrías euclidianas
1.2 Regiones fundamentales y cocientes

2 Grupos finitos de isometrías
2.1 El plano
2.2 El espacio 3-dimensional

3 Grupos discretos de isometrías
3.1 Frizos
3.2 Grupos cristalográficos planos
3.3 Grupos cristalográficos del espacio 3-dimensional

4 Dimensiones mayores
4.1 Politopos y teselaciones regulares
4.2 Teoremas fundamentales

Bibliografía
Grove, Benson, "Finite Reflection Groups", New York, Springer Verlag, 1985

Conway, "The symmetries of things", Wellesley, Massachusetts : A.K. Peters, c2008

Ratcliffe, "Foundations of hyperbolic manifolds"

Humphreys, "Reflection groups and coxeter groups", Cambridge : Cambridge University Press, 1990

Requisitos

Commentarios

Tema
Geometría Compleja

Objetivo
Introducir las técnicas locales básicas (funciones holomorfas de varias variables) de la geometría compleja, así como las técnicas las técnicas globales (haces o gavillas y teorías de cohomología).

Temario
1. Funciones holomorfas de varias variables.
2. El concepto de variedad y compleja y el haz (gavilla) de funciones holomorfas.
3. Cohomología de haces.
4. Formas diferenciales y el Teorema de de Rham.
5. Superficies de Riemann y el Teorema de Riemann-Roch.

Bibliografía
D. Huybrechts "Complex Geometry" Springer UTX, 2005
D. Arapura " Algebraic Geometry over the Complex Numbers" Springer UTX, 2012
J. Harris and P. Griffiths "Principles of Algebraic Geometry" Wiley 1994

Requisitos
Variable compleja en una variable y un curso básico en topología. Es deseable un curso previo en geometría algebraica, pero no indispensable.

Commentarios

Tema
Amenabilidad y teoría de Ramsey II

Objetivo
En este curso daremos continuidad al estudio de la amenabilidad de grupos discretos desde la perspectiva de la teoría de Ramsey haciendo énfasis en el enfoque propuesto por J. Moore para atacar la amenabilidad del grupo de Thompson F vía la teoría de Ramsey no asociativa.

Temario
1. Un análogo no asociativo al Teorema de Hindman
2. Medidas idempotentes
3. Teoría de Ramsey no asociativa
3. Funciones Ramsey vs funciones Følner
4. Un criterio para no amenabilidad
5. El problema de von Neumann-Day (una solución geométrica)
6. Relaciones de equivalencia amenables
7. Teoría estructural de Ramsey y teoría KPT

Bibliografía
Bleak, C.; Brin, M.; Kassabov, M.; Moore, J.; Zaremsky M. Groups of fast homeomorphisms of the interval and the ping-pong argument, preprint.
Moore, Justin Tatch A brief introduction to amenable equivalence relations, preprint.
Lodha, Yash; Moore, Justin Tatch A nonamenable finitely presented group of piecewise projective homeomorphisms. Groups Geom. Dyn. 10 (2016), no. 1, 177–200.
Tatch Moore, Justin Hindman's theorem, Ellis's lemma, and Thompson's group F. Zb. Rad. (Beogr.) 17(25) (2015), Selected topics in combinatorial analysis, 171–187.
Moore, Justin Tatch Fast growth in the Følner function for Thompson's group F. Groups Geom. Dyn. 7 (2013), no. 3, 633–651.
Moore, Justin Tatch Amenability and Ramsey theory. Fund. Math. 220 (2013), no. 3, 263–280.
Kechris, A. S.; Pestov, V. G.; Todorcevic, S. Fraïssé limits, Ramsey theory, and topological dynamics of automorphism groups. Geom. Funct. Anal. 15 (2005), no. 1, 106–189.

Requisitos
Familiaridad con conceptos básicos de amenabilidad, con el semigrupo formado por los ultrafiltros sobre los números naturales así como con resultados tipo Ramsey sería deseable.

Commentarios

Tema
Aplicaciones de PFA

Objetivo
Estudiar la consistencia a aplicacciones del Axioma de Forcing Propio (PFA).

Temario
1. Forcing propio - definiciones equivalentes y ejemplos
2. Teorema de Shelah: CSI iteracion de forcing propios es propio
3. Cardinales supercompactos y la sucesion de Laver
4. Consistencia de PFA asumiendo la existencia de cardinales supercompactos
5. El Teorema de Baumgartner: los conjuntos $'aleph_1$-densos de los reales son isomorphos
6. El Teorema de Todorcevic: no hay S-espacios
7. El metodo de Todorcevic de submodelos como condiciones laterales
8. OCA y PID con aplicaciones
9. El Teorema de Todorcevic: Cinco tipos de Tukey de ordenes de tamaño $\aleph_1$
10. Principios de reflexion
11. El teorema de Moore: Base de cinco elementos para ordenes lineales no numerables
12. Conjetura de Kaplanski
13. PFA implica $2^\omega=\aleph_2$.
14. Teorema de Viale: PFA implica SCH.

Bibliografía
O. Guzman Gonzalez, Forcing con submodelos como condiciones laterales, Tesina de meastría, PCCM, 2013

J. T. Moore, Proper Forcing Axiom - a tutorial, Young Set Theory Workshop 2010,

S. Todorcevic, Notes on Forcing Axioms, lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore vol.26,2014

Requisitos
Curso avanzado de forcing.

Commentarios

Tema
Teoría algebraica de números

Objetivo

Temario
1. Números algebraicos.
2. Conjugados, discriminantes, normas, trazas.
3. Campos cuadráticos, ciclotómicos.
4. Ideales. Teorema fundamental de la teoría de los ideales.
5. Teoría de Kummer.

Bibliografía
i. Stewart, D. Tall. Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem. CRC Press, Boca Raton, FL, 2016.

Requisitos

Commentarios

Tema
Teoría algebraica de números

Objetivo

Temario
1. Números algebraicos.
2. Conjugados, discriminantes, normas, trazas.
3. Campos cuadráticos, ciclotómicos.
4. Ideales. Teorema fundamental de la teoría de los ideales.
5. Teoría de Kummer.

Bibliografía
I. Stewart, D. Tall. Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem. CRC Press, Boca Raton, FL, 2016.

Requisitos

Commentarios

Tema
Números trascendentes

Objetivo

Temario
1. Números algebraicos y trascendentes. Teorema de Liouville.
2. Campos de números.
3. Trascendencia del número $e$.
4. Trascendencia del número $\pi$. Teorema de Lindemann-Weierstrass.

Bibliografía

Requisitos

Commentarios

Tema
Dinámica de Enfermedades

Objetivo
Dar una introducción a los modelos matemáticos de enfermedades infecciosas y modelación de algunos conceptos básicos: modelos de transmisión, modelos de control de infecciones, comportamiento umbral, etc., principalmente se usaran modelos mediante ecuaciones diferenciales y computacionales.

Temario
0 Historia de la epidemiología matemática.

1 Modelos compartamentales básicos: Crecimiento de poblaciones, SI, SIR, SIRS, SEIRS, SIQR, etc.

2 Dinámica de modelos: formulaciones de transmisión, analisis cualitativo, estabilidad.

3 Ciclos límites resultados clásicos: existencia vía puntos fijos, grado, de Leray-Schauder y promediación.


4 Umbral de epidemias: Definición de valores críticos, cálculo de R_0 de algunos sistemas.


5 Bifurcaciones: Bifurcaciones elementales, bifurcación hacia atras.


6 Control de infecciones: modelos matemáticos de control, modelos de tratamiento.

7 Técnicas numéricas y computacionales: Algunos paquetes básicos, interpretaciones del retrato, comparando modelos SIR con la realidad,

8 Modelos discretos y Redes complejas (si alcanza el tiempo).

Bibliografía
D. Barnes; D. Chu (2010). Introduction to Modelling for Biosciences. Springer Verlag. ISBN 1-84996-325-8.

L. Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology. SIAM, 2004. ISBN 0-07-554950-6


J.D. Murray, Mathematical Biology. Mathematical Biology: I An Introduction, 2002 ISBN 0-387-95223-3;

J.D. Murray, Mathematical Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications, 2003 ISBN 0-387-95228-4.

Mawhin, J., Leray-Schauder degree, \textit{Methods in non-linear Analysis}, V. 14, (1999), 195-228.

Sanders, Verhulst: Avering Methods in Nonlinear dynamical systems, Springer-Verlag.

Strogatz (2001) Nonlinear Dynamics and Chaos: With
Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering,
Perseus.
Tyson JJ, Chen K, Novak B (2001) Network dynamics and cell physiology. Nat Rev Mol Cell
Biol. 2:908-16.

Lecturas de artículos recientes.

Requisitos
EDO,

Commentarios

Tema
Teoria K algebraica

Objetivo
Introducir a los diferentes métodos de la teoría K algebraica

Temario
1. K_o: la categoria de módulos
2. K_1: teoría de matrices
3. K_-1: El teorema fundamental de la teoria K algebraica
4. El espectro de K teoría algebraica
5. Teorías de isomorfismo

Bibliografía
C. Weibel: The K-book, Graduate Studies in Mathematics vol 145, AMS
(disponible en línea)
J. Rosenberg, Int. to algebraic K-theory, Springer.

Requisitos
Curso básico de algebra, curso basico y avanzado de topología algebraica

Commentarios

Tema
Una introducción a los modelos y al Forcing

Objetivo
Aprender a usar la teoría de modelos y la construcción de los mismo mediante aplicaciones a la Topología, Análisis Matemático y Teoría de Conjuntos

Temario
TEMAS
0.0 Teoría de Modelos.
0.1 Teoría de modelos para la lógica proposicional.
0.2 Completitud y compacidad.
0.3 Extensiones elementales y cadenas elementales.
0.4 Funciones de Skolem e indiscernibles.
0.5 Modelos Elementales.
1. Teoría de Conjuntos.
1.1 Axiomas de Zermelo-Frenkel y de Elección.
1.2 Números ordinales.
1.3 Números cardinales.
1.4 Hipótesis del Continuo.
1.5 Algo de combinatoria infinita.
2. Axioma de Martin.
2.1 MA(k).
2.2 Equivalencias de MA.
2.3 Aplicaciones de MA.
3. Modelos de Teoría de Conjuntos.
3.1 Modelos Transitivos.
3.2 Modelos Transitivos Numerables de ZFC.
3.3 Aplicaciones a la Topología.
4. Forcing.
4.1 Extensiones Genéricas.
4.2 ZFC en M[G].
4.3 Forcing con funciones parciales finitas.
4.4 Consistencia de CH.
4.5 Consistencia de la Negación de CH.
4.6 Forcing con funciones parciales de cualquier cardinalidad.
4.7 Aplicaciones de Forcing a la Teoría de Conjuntos.
4.8 Aplicaciones de Forcing a la Topología.
4.9 Aplicaciones de Forcing al Análisis Matemático.

Bibliografía
[1] T. Jech, Set Theory, The third millennium edition, Springer-Verlag, 2003.
[2] K. Kunen, Set Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol. 102, Elsevier, 1999.
[3] S. Garcia-Ferreira, An introduction to Forcing, Notes, 1995.
[4] C. C. Chang, H.J. Keisler, Model Theory, North-Holland Publishing Co., 1998.
[5] D. Marker, Model Theory: an introduction. Springer, 2002.
[6] J. R. Shoeneld, Mathematical Logic, Association for Symbolic Logic A. K. Peters LTD. 1967.
[7] W. Weiss, C. D'Mello, Fundamentals of Model Theory, University of Toronto, 1997.

Requisitos
Topología y Análisis Matemático

Commentarios
Ninguno

Tema
Teoria Espectral

Objetivo
Conocer los estudiantes del PCCM con la teoría espectral

Temario
1.Espectro y Resolventa
2. Espectro de las operadores acotados
3. Medidas espectrales. Funciones de Borel y operadores autoadjuntos
4.Operadores compactos
5 TeorÍa de Fredholm
6 Problema de Sturm-Liouville
7 Teorema espectral. Aplicaciones a la Física cuántica.

Bibliografía
[1] N. Akhiezer and I. Glazman. Theory of linear operators in Hilbert space. Volume II. Frederick Ungar Publishing Co.

[2] J. Bognar. Indefinite inner product spaces. Springer.

[3] R. Douglas Banach algebra techniques in operator theory. Academic press.

[4] W. Rudin. Functional Analysis. McGraw-Hill.
  

[5]  ARVERSON, W.: A short course on Spectral Theory. Graduate Text in Mathematics 209, Springer--Verlag (2002).

[6]  DAVIDSON, K.: C*-algebras by example. Fields Inst. Monographs, Amer. Math. Soc. (1996).

[7].  DUNFORD, N. Y SCHWARTZ, J.: Linear operators. vol. I, Interscience, New York (1958).

Requisitos
Algebra Lineal, Análisis III

Commentarios

Tema
Basico de Ecuaciones Diferenciales

Objetivo

Temario

Bibliografía

Requisitos

Commentarios
Es conveniente que los estudiantes interesados se comuniquen con el profesor indicando que tomaran el curso antes del 15 de enero 2018.

Tema
Temas selectos de Topología Algebraica avanzada

Objetivo
Se mostrarán tres conjuntos de herramientas avanzadas de la topología algebraica: Teoría de Homotopía estable, Sucesiones espectrales y métodos probabiliísticos. El Curso servirá a los estudiantes avanzados de maestría y doctorado interesados en topología algebraica afinar sus conocimientos

Temario
1. Teoría de homotopía estable
2. Sucesiones espectrales en topología: Sucesión de Atiyah Hirzebruch, Leray Serre y Adams.
3. El método probabilístico en topología algebraica

Bibliografía
J. F. Adams. Stable Homotopy and generalised cohomology.
Mc. Leary. A user's guide to spectral sequences

Para la parte del método probabilístico:
Costa y Farber, Large Random simplicial complexes I-III detallados como sigue:
Large random simplicial complexes, I. J. Topol. Anal. 8 (2016), no. 3, 399–429.
Large random simplicial complexes, II; the fundamental group. J. Topol. Anal. 9 (2017), no. 3, 441–483.

Large random simplicial complexes, III: the critical dimension. J. Knot Theory Ramifications 26 (2017), no. 2,

Requisitos
Conocimientos deTopología Algebraica: homología y cohomología

Commentarios

Tema
Teoría Matemática de difracción

Objetivo
Conocer a los estudiantes con la creación y el desarrollo de la teoría matemática de difracción de ondas.

Temario
1. Observación de Grimaldi de la difracción
2. El principio de Huygens de las ondas secundarias
3. La teoría de Young de la interferencia y difracción
4. Teoría de Fresnel de la difracción
5. Teoría de Kirchhoff de difracción
6. Formula de Fresnel-Kirchhoff
7. Difracción de Fraungofer
Se supone que este trabajo se convierte en la tesis de licenciatura.

Bibliografía
Bibliografía.
1. A. Merzon, A.Komech, Diffraction by Wedges, Method of Automorphic Functions” (en preparación).

2. F. Cajori, A History of Physica, Dover, NY, 1962

Requisitos
Análisis 1-3 de licenciatura.

Commentarios

Tema
Teoria de Distribuciones

Objetivo
En diversos ejemplos físicos idealizados aparecen objetos matemáticos (cuasi-funciones) similares a las funciones convencionales cuyo uso daba soluciones consistentes a diversos problemas físicos, pero que no podían ser tratados estrictamente como funciones matemáticas convencionales. Por otra lado
la teoría de distribuciones es una herramienta moderna para Análisis y sus aplicaciones . La meta es conocer a los estudiantes con distribuciones.por ejemplo \delta función.

Temario
1. Espacios de las funciones de prueba: D,S.

2. Varios métodos para determinar una función.

3. Distribuciones.
 Espacio D'
4. Operaciones con distribuciones

5*. Topología en los espacios de distribuciones

6*. Espacios D', S' como topological vector space. Los límites inductivos y proyectivos de los espacios métricos lineales
7. Diferenciación de distribuciones.

8. Soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias en las clases de distribuciones.
9. La función de Green para problemas de frontera sobre un intervalo.
10. Espacios de Sobolev y sus aplicaciones a problemas mixtos

11 Transformada de Fourier en espacios de las funciones de prueba

12. Transformada de Fourier en espacios de las distribuciones

13. Aplicaciones de la transformada de Fourier para la construcción de la soluciones fundamentales de las EDP.

Bibliografía
1. F. G. Friedlander , M. Joshi. Introduction to the Theory of Distributions 
2. A.I.Komech. A.A. Komech. 
Principles of Partial Differential Equations (Problem Books in Mathematics) 
3. A.E.Merzon. Transformada de Fourier.

Requisitos
Análisis 1-2

Commentarios
1.Los temas marcados con * solo para los estudiantes a quienes interesa los aspectos topológicos de Análisis.
2. El curso es interesante , no es difícil y es útil. El puede ayudar prepararse para cualquier examen general de análisis, ecuaciones diferencial, etc

Tema
Conjuntos euclidianos aperiódicos

Objetivo
El curso busca sentar las bases de los conjuntos aperiódicos que teselan el plano e introducir algunas de las muchas preguntas abiertas en este tema.

Temario
1) Teselaciones periódicas (grupos discretos de isometrías, los 17 grupos cristalográficos planos)
2) Conjuntos aperiódicos jerárquicos (conjuntos de Penrose, demostración de aperiodicidad, otros conjuntos aperiódicos)
3) Indecibilidad del problema de las teselas
4) Conjuntos aperiódicos no jerárquicos (funciones casi periódicas, conjuntos de Wang)
5) Dimensión 3

Bibliografía
M. Baake, U. Grimm, Aperiodic order. Vol. 1. A mathematical invitation, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 149. Cambridge University Press, Cambridge, 2013. xvi+531 pp.

B. Grünbaum, G. C. Shephard, Tilings and patterns, W. H. Freeman and Company, New York, 1987. xii+700 pp.

J. G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 149. Springer, New York, 2006. xii+779 pp.

Requisitos

Commentarios

Tema
Introducción a la teoría de representaciones de grupos finitos

Objetivo
Introducir al alumno a la teoría de representaciones clásicas y modulares desde un punto de vista moderno.

Temario
1. Introducción al álgebra homológica
a) Categorías y funtores
b) proyectivos e inyectivos
c) Teorema Wedderburn
d) Teorema de Krull-Schmidt

2. Representaciones clásicas.
a) Teoría de caracteres
b) Teoremas de inducción de Artin y de Brauer
c) aplicaciones a grupos finitos

3. Representaciones modulares
a) Proyectivos relativos
b) vértices y fuentes
c) correspondencia de Green

Bibliografía
C. Curtis. I. Reiner. Methods of representation Theory I y II. John
Wiley & Sons.1984.
J.L. Alperin. R B. Bell. Groups and Representations GTM 162.
Springer. 1995.
D.J. Benson. Representations and cohomology I Cambridge studies
in advanced mathematics Vol 30. Cambridge University Press, Cam-
bridge; New York, 1991.

Requisitos
Curso básico de álgebra (Álgebra Moderna)

Commentarios

Tema
C*-álgebras II

Objetivo
Continuar con el estudio de C*-álgebras, en particular dos aplicaciones importantes de la teoria de C*-álgebras: el teorema espectral de operadores normales y la clasificación de haces vectoriales establemente isomorfas (K-teoría).

Temario
1. Teorema espectral de operadores normales
- La representación de Gelfand de C*-álgebras conmutativas
- Cálculo funcional continuo de operadores normales
- Teorema de representación de Riesz-Markov
- Medidas a valores en proyecciones
- El teorema espectral y su demostración

2. Extensiones de C*-álgebras
- sucesiones exactas de C*-álgebras
- secuencias exactas cortas escindidas
- cono y suspensión de C*-álgebras

3. Proyecciones
- proyecciones y isometrias parciales
- homotopía de proyecciones
- equivalencia unitaria de proyecciones
- equivalencia de Murray-von Neumann

4. K-teoría
- el grupo K_0 para C*-álgebras con unidad y sin unidad
- ejemplos básicos
- relación de K_0(C(M)) con la clasificación de haces vectoriales establemente isomorfas
- el grupo K_1 como clases de equivalencia de matrices unitarias bajo homotopía
- K-teoria y suspensión de C*-álgebras
- periodicidad de Bott
- sucesión exacta de seis terminos
- ejemplos explícitos

Bibliografía
G. J. Murphy: C*-algebras and operator theory, Academic Press, Boston, 1990.

N. E. Wegge-Olsen: K-Theory and C*-Algebras: A Friendly Approach, Oxford University Press Inc., New York, 1993.

M. Karoubi: K-Theory: An introduction, Springer, Berlin, 1978.

B. Blackadar, K-theory for operator algebras, MSRI Publications 5, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Requisitos
Análisis Funcional y C*-álgebras I

Commentarios
El curso es una continuación del curso C*-álgebras I.

Tema
Categorias Derivadas

Objetivo
Estudiar los aspectos principales de las categorías derivadas y sus diferentes aplicaciones.

Temario
1. Categorias Abelianas
2. Categorias Exactas
3. Categorias Trianguladas
4. Algebras Diferenciales Graduadas y sus módulos diferenciales.
5. La categoria derivada de algebras diferenciales graduadas.
6. Equivalencia entre categorias derivadas.
7. Aplicaciones.

Bibliografía
1. Gelfand, Manin. Methods of homological algebra.
2. Weibel. Introduction to homological algebra . Springer Verlag
3. R. Bautista, M.J. Souto. Notas sobre categorías derivadas.

Requisitos
Algebra Moderna.

Commentarios

Tema
Introducción al grupo modular de Teichmüller

Objetivo
El objetivo de este curso es dar al estudiante los conocimientos básicos acerca del grupo modular de Teichmüller de una superficie de tipo topológico finito.

Temario
- Definiciones y equivalencias del grupo modular.
- Giros de Dehn.
- El grupo modular es finitamente generado.
- El grupo modular es finitamente presentado.
- Clasificación de elementos del grupo modular.
- Teorema de Dehn-Nielsen-Baer.

Bibliografía
La referencia principal del curso es el libro:
- B. Farb, D. Margalit. A primer on mapping class groups. 49. Princeton University Press, Princeton, NJ. 2012.

Las referencias auxiliares son las siguientes:
- A. Hatcher, W. Thurston. A presentation for the mapping class group a closed orientable surface. Topology, 19 (3), pp 221-237. 1980.
- S.P. Humphries. Generators for the mapping class group. Topology of Low-Dimensional Manifolds, vol. 722 de Lecture Notes in Math., pp 44-47. Springer-Verlag, 1979.
- W.B.R. Lickorish. A finite set of generators for the homeotopy group of a 2-manifold. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 60 (4), pp 769-778. 1964.

Requisitos
Conocimientos básicos de Topología algebraica (homotopía, homología, variedades).

Si bien no es requisito, el estudiante se beneficiaría bastante teniendo ya conocimientos de Geometría/Topología Diferencial.

Commentarios

Tema
Geometria de numeros

Objetivo

Temario
1. Latices.
2. Cuerpos convexos.
3. Teorema de Minkowski.
4. Mínimos sucesivos.
5. Desigualdades importantes sobre mínimos sucesivos.
6. Aplicaciones a congruencias.
7. Producto de intervalos pequeños en campos finitos.
8. Mapas polinomiales en cajas pequeñas.

Bibliografía
1). U. Betke, M. Henk, J. M. Wills. Successive-minima-type inequalities, Discr. Comput. Geom.\/, 9 (1993), 165--175.

2). J. Bourgain, M. Z. Garaev, S. V. Konyagin, I. E. Shparlinski.
Multiplicative congruences with variables from short intervals.
J. Anal. Math. 124 (2014), 117–147.

3). T. Tao, V. Vu. Additive combinatorics, Cambridge Stud.
Adv. Math, 105, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

Requisitos

Commentarios

Tema
Teoría Descritiva de Conjuntos Clásica

Objetivo
Introducir al alumno los conceptos y técnicas de la Teoría Descriptiva de Conjuntos Clásica para el estudio de los conjuntos definibles de reales y sus propiedades de regularidad, tales como la propiedad del conjunto perfecto, la propiedad de Baire y medibilidad.

Temario
1.-Espacios Polacos
1.1. Definición y ejemplos
1.2. Árboles
1.3. Espacios métricos compactos
1.5. Espacios Polacos perfectos
1.6. Espacios cero-dimensionales
1.7. Categoría de Baire
2.- Propiedades de regularidad de subconjuntos de espacios Polacos
2.1. Juegos infinitos y determinación
2.2. La propiedad del conjunto perfecto
2.3. La propiedad de Baire
2.4. Medibilidad
3.- Subconjuntos definibles de espacios Polacos
3.1. Conjuntos Borel
3.2. Conjuntos Análiticos
3.3. Coanalíticos
3.4. Propiedades de regularidad de conjuntos analíticos
3.5. La jerarquía proyectiva
4.- Relaciones de equivalencia definibles, acciones de grupos y gráficas
4.1. Ejemplos de relaciones de equivalencia y acciones de grupos Polacos
4.2. Reducción Borel
4.3. Propiedad del conjunto perfecto para espacios cociente
4.4. Clasificaciones suaves
4.5. Gráficas definibles y coloraciones

Bibliografía
Kechris, Alexander S. Classical descriptive set theory. Graduate Texts in Mathematics, 156. Springer-Verlag, New York, 1995.
Moschovakis, Yiannis N. Descriptive set theory. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 155. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.

Requisitos
Conocimientos básicos de análisis real/topología general es deseable.

Commentarios

Tema
Algoritmos en grafos

Objetivo
Aprender los algoritmos más importantes de grafos. Poder implementarlos de manera eficiente.

Temario
Temario:
Introducción
Definiciones básicas
Análisis de algoritmos
Estructuras de datos
Representación de un grafo en la computadora
Dibujo de un grafo en la computadora. Layouts.

Búsqueda en Gráficas
Búsqueda no informada; en profundidad, anchura, Dijkstra
Búsqueda : A*
Optimizaciones

Árbol generador de peso mínimo
Kruskal
Primm


Programación Lineal
Método de Simplejos, pivotes
Geometría y Dualidad
Algoritmo primal-dual
Programación Lineal Entera


Apareamientos y Flujos
Teorema del Máximo flujo, Mínimo corte
Apareamientos: En grafos bipartitos
Apareamientos: En grafos generales. Algoritmo de Blossom


Algoritmos en digrafos
Algoritmo de Tarjan (componentes fuertemente conexas)
Ordenamiento topológico en DAGs
Camino más largo en DAGs
Floyd-Warshall

Otros algoritmos
Número cromático
Isomorfismo de Gráficas
Problema del agente viajero (TSP)
Clanes
Particiones
Caminos Eulerianos y Hamiltonianos
Algoritmos para generación de grafos con ciertas propiedades

Bibliografía
The Art of Computer Programming, Donald Knuth.
Algorithms in C++ part 5: Graph Algorithms, Robert Sedgewick
Algorithm Design, Kleinberg y Tardos.
Graph Algorithms, Shimon Even
Graph Theory, Bondy y Murty
Graph Theory, R. Diestel

Requisitos
Gráficas, Algoritmos, Programación.

Commentarios
El curso se impartirá en la ENES.

Tema
Suplemento matemático para el inicio del posgrado

Objetivo
El objetivo del curso es dotar de las competencias matemáticas básicas para iniciar el posgrado. Se ofrece de manera paralela en el último año de la carrera de ciencias de materiales sustentables de la ENES y se recomienda en el primer año de la maestría bajo sugerencia del tutor.

Temario
Rudimentos de teoría de conjuntos.
Conteo e inducción.
Repaso de álgebra lineal y cálculo.
Cálculo vectorial
Topología de conjuntos de puntos.
Geometría avanzada
Introducción matemática a la probabilidad y estadística basada en teoría de la medida.

Bibliografía
Thomas A.Garrity. All the mathematics you missed but need to know for graduate school.

Requisitos

Commentarios

Tema
Fundamentos modernos de la teoría cuántica (seminario de física matemática)

Objetivo
Exponer los bases y discutir sobre los últimos avances en los fundamentos de la tería cuántica y teoría cuántica de campos, con enfoque particular en la formulación de fronteras generales y el formalismo positivo. Se espera que el seminario sirve también como un foro de intercambio de ideas para los académicos involucrados activamente en el desarrollo de este campo.

Temario
Algunos temas posibles:
- Acercamiento operacional a los fundamentos de la física
- Formalismo convexo operacional/teorías probabilisticas generalizadas
- Localidad y causalidad
- Teoría cuántica de campos topológica
- Formulación axiomatica de fronteras generales y positiva
- Esquemas de cuantización
- Aspectos del integral de Feynman
- Teoría cuántica de campos en espacio-tiempo con curvatura
- La teoría cuántica en el contexto general relativista
- Relación con otros acercamientos axiomaticos a la teoría cuántica de campos: teoría cuántica de campos algebráica, álgebras de factorización

Bibliografía
[1] A. S. Holevo, Probabilistic and statistical aspects of quantum theory, North-
Holland Series in Statistics and Probability, vol. 1, North-Holland, Amster-
dam, 1982.
[2] R. Oeckl, A local and operational framework for the foundations of physics,
1610.09052.
[3] L. Hardy, The operator tensor formulation of quantum theory, Phil. Trans. R.
Soc. A 370 (2012) 3385–3417, 1201.4390.
[4] H. Barnum, A. Wilce, Ordered Linear Spaces and Categories as Frameworks
for Information-Processing Characterizations of Quantum and Classical Theory,
0908.2354.
[5] R. Oeckl, General boundary quantum field theory: Foundations and pro-
bability interpretation, Adv. Theor. Math. Phys. 12 (2008) 319–352,
hep-th/0509122.
[6] D. Colosi, R. Oeckl, Spatially asymptotic S-matrix from general boundary for-
mulation, Phys. Rev. D 78 (2008) 025020, 0802.2274.
[7] R. Oeckl, Free Fermi and Bose Fields in TQFT and GBF, SIGMA 9 (2013) 028,
46 pages, 1208.5038v2.
[8] N. M. J. Woodhouse, Geometric Quantization, 2nd ed., Oxford University
Press, Oxford, 1991.
[9] R. Wald, Quantum field theory in curved spacetime and black hole thermodyna-
mics, University of Chicago Press, Chicago, 1994.
[10] R. Haag, Local Quantum Physics, Springer, Berlin, 1992.
[11] K. Costello, O. Gwilliam, Factorization Algebras in Quantum Field Theory,
vol. 1, Cambridge University Press, Cambridge, 2016.
[12] C. Rovelli, Quantum gravity, Cambridge University Press, Cambridge,
2004.

Requisitos
Nivel: Posgrado, posdoc, investigadores. El seminario se dirige a estudiantes, posdocs y investigadores con previo conocimiento en teoría cuántica. También puede ser de utilidad conocimiento básico en: teoría cuántica de campos, fundamentos de la teoría cuántica, teoría general de la relatividad. También sera útil conocimiento básico en análisis funcional.

Commentarios
El seminario es de física matemática.
(En el formato web no existe esta opción, por lo tanto aparece como semianrio de análisis)

Tema
MODELOS ESTOCASTICOS

Objetivo

Temario
1. Procesos de Renovación.
1.1. Definición y propiedades básicas.
1.2. Relación de Wald.
1.3. Ecuación de renovación, existencia y unicidad de solución a la ecuación de
renovación.
1.4. Comportamiento asintótico (Teorema elemental de renovación).
1.5. Distribuciones asociadas a un proceso de renovación (edad, tiempo de vida
residual y tiempo de vida total del componente en funcionamiento)
1.6. Los teoremas de Renovación de Blackwell y de Smith o teorema clave de
renovación: tiempos de vida absolutamente continuos.
1.7. Distribuciones asintóticas del número de renovaciones, de la edad, tiempo de
vida residual y tiempo de vida total del componente en funcionamiento.
1.8. Aproximaciones de la función de renovación.
1.9. Aplicaciones importantes: Modelos de remplazos. Procesos de renovación
dependientes de la edad. Teoría de riesgo (problema de la ruina, estimación de
Cramér) sistemas de espera.
1.10. Simulación.
2. Cadenas de Markov con Tiempo Continuo. Procesos de Nacimiento y Muerte.
2.1. Cadenas de Markov a tiempo continúo.
2.2. Funciones de transición.
2.3. Generador infinitesimal o Q matriz. Ecuaciones ‘forward’ y ‘backward’ de
Kolmogorov.
2.4. Procesos de Nacimiento y Muerte.
2.5. Ejemplos importantes: Procesos de Poisson Compuesto. Proceso de
Nacimiento y Muerte con dos estados y en general. Procesos de Ramificación
dependiente de la edad y con inmigración. Proceso de Yule, Proceso de Yule con
inmigración. Modelo de Moran, Proceso de ramificación con crecimiento logistico.
Sistemas de espera Markovianos M/M/1, M/M/K, M/M/∞, M/M/k/s, formula de
Little. Modelos de poblaciones con desastres.
2.6. Cadena de Markov subyacente.
2.7. Propiedades de un proceso Markoviano de saltos (irreducibilidad,
transitoriedad, cero y positivo recurrente)
2.8. Existencia y unicidad de vectores invariantes.
2.9.Inferencia Estadística para cadenas con tiempo continuo
2.10.Comportamiento asintótico: límites de probabilidades de transición, teorema
ergódico y aplicaciones.
2.11. Ecuaciones de Balance detallado y Reversibilidad.
2.12. Simulación de las trayectorias y aplicaciones del teorema ergódico.
2.13. Probabilidades invariantes de los ejemplos importantes.
3. Caminatas aleatorias y Movimiento Browniano.
3.1. Caminatas aleatorias. Principio de reflexión, distribución del máximo, tiempos
de llegada.
3.2. De la caminata aleatoria al movimiento Browniano. Principio de invariancia,
principio de reflexión, distribución del máximo, tiempos de llegada.
3.3. Simulación de las trayectorias de un movimiento Browniano.
3.4. Propiedades fundamentales del movimiento Browniano. Continuidad y
diferenciabilidad en ninguna parte de las trayectorias. Propiedad de Markov. Salida
de un intervalo
3.5. Movimiento Browniano con deriva.
3.6. Puente Browniano y la estadística de Kolmogorov Smirnov.
3.7. Movimiento Browniano reflejado.
3.8. Proceso de Ornstein-Uhlenbeck.
4. Difusiones
4.1.Definición
4.2.Aproximación por difusión
4.3.Speed measure y función de escala
4.4.Salida de un intervalo
4.5.Ejemplos. Modelo de Wright-Fisher

Bibliografía
(1)Ishwar V. Basawa; B.L.S. Prakasa Rao: Statistical inference for stochastic processes,
London: Academic Press, Probability and Mathematical statistics 1980
(2) Bhat, U.Narayan, Gregory K. Miller, Elements Of Applied Stochastic Processes, New
York : John Wiley
(3)M. E. Caballero, V. Rivero, G. Uribe, C. Velarde. , Cadenas de Markov. Un enfoque
elemental. Aportaciones Matemáticas: Textos # 29, Sociedad Matemática Mexicana, 2004.
(4)R. Durrett: Essentials of Stochastic Processes. Springer (1999).
(5) W. Feller: An introduction to probability theory and its applications, Vol. II, 1965.
(6) G. R. Grimett & D.R. Stirzaker. Probability and Random Processes. 2^nd . Ed. Oxford,
1992
(7) P.G. Hoel, Port, S.C. & Stone, Ch. J. Introduction to stochastic processes. Houghton
Mifflin, 1972.
(8) D. Kannan. An Introduction to stochastic processes. North Holland, 1979.
(9) S. Karlin & Taylor, H.M. A first course in stochastic processes (Second Edition).
Academic Press, 1975.
(10) G. F. Lawler: Introduction to stochastic processes. Chapman & Hall, Probability Series
2000.
(11) J. Norris: Markov Chains. Cambridge University Press 1997.
(12) S.I. Resnick. Adventures in stochastic processes. Birkhäuser 1992.
(13) S. M. Ross. Introduction to probability models.Academic Press 1997.
(14) S. M. Ross. Simulation, Academic Press; 3rd edition (2001).
(15) D. Stirzaker. Stochastic processes and Models, Oxford University Press (2005).

Requisitos

Commentarios

Tema
Calculo variacional e introduccion a la teoria de control optimo

Objetivo
Revisar las nociones mas importantes del calculo variacional. Estudiar los resultados mas relevantes de la teoria de control optimo de sistemas lineales y no lineales. En el caso de sistemas lineales, haremos enfasis en la relacion entre los problemas de control con problemas de analisis, entre ellos, el problema de momentos y polinomios ortogonales.

Temario
1. El Lema fundamenal del calculo variacional.
2. La ecuacion de Euler-Lagrange para funcionales de una/varias variables.
3. Controlabilidad de sistemas de control lineales/no lineales descritos por ecuaciones diferenciales.
3. Teorema de Pontryagin de control optimo.
4. Ecuacion de Bellman
5. Relaciones entre 2. 3. y 4.
6 Solucion del problema de control optimo mediante el problema de momentos.
7. Solucion del problema admisible de control mediante polinomios ortogonales.

Bibliografía
1. Hans Sagan, Introduction to the calculus of variations,Editorial: Dover Publications.
2. Pontryagin, L. S.; Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Mishchenko, E. F. (1962). The Mathematical Theory of Optimal Processes.
3. Ross, I. M. (2009). A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control. Collegiate.
4. Choque-Rivero A.E.; On the solution set of the admissible control problem via orthogonal polynomials, accepted to appear in IEEE Transactions on Automatic Control, vol 62, issue 10, 2017.

Requisitos
Algebra Lineal1-2. Ecuaciones diferenciales1-2 y Analisis real/complejo de la licenciatura.

Commentarios
Atentamente se pide a los estudiantes interesados que se comuniquen con el profesor para comentar su interes, y lo posible se registren para asistir a este curso hasta el 15 de ENERO. En caso de que hasta esa fecha NO se tengan estudiantes interesados, tendremos que cancelar este curso.

Tema
El objetivo es cubrir los contenidos del curso básico de topología algebraica

Objetivo

Temario
Grupo fundamental
Cubrientes
Homotopía básica
Homología

Bibliografía
Hatcher, Algebraic Topology
Switzer. Algebraic Topology homotopy and cohomology
Prieto. Topología Básica

Requisitos
Cnocimientos básicos de álgebra y topología.

Commentarios

Tema
Grupos de Coxeter

Objetivo
Dar una introducción amplia a los estudiantes de los grupos de Coxeter, desde sus motivaciones hasta sus teoremas relevantes. Se incluye la representación usual de un grupo de Coxeter en un espacio euclidiano

Temario
1) Grupos finitos de reflexiones (de espacios euclidianos)
2) Clasificación de grupos finitos de reflexiones
3) Grupos afines de reflexiones
4) Grupos de Coxeter
5) Grupos de Coxeter irreducibles
6) Representacion de grupos de Coxeter irreducibles

Bibliografía
1) Humphreys, James E. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29. Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
2) Grove, L. C.; Benson, C. T. Finite reflection groups. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 99. Springer-Verlag, New York, 1985.

Requisitos

Commentarios

Tema
Teoria Espectral

Objetivo
Introducir a los estudiantes de la maestría a los conceptos básicos de la teoría espectral.

Temario
1) Espacio de Hilbert
2) Proyecciones
3) Teorema de Riesz
4) Operadores: autoadjuntos, unitarios, normales
5) Descomposición espectral, el caso finito.
6) Valores y vectores propios
7) Teoria espectral en el caso de la dimensión finita
8) Espectro. Muchos ejemplos
9) Teoría espectral para operadores compactos. Teorema espectral
10) Operadores no acotados.

Bibliografía
1. A.W.Naylor, G.R.Sell. Linear operator theory in engineering and science
2.  ARVERSON, W.: A short course on Spectral Theory. Graduate Text in Mathematics 209, Springer--Verlag (2002).

Requisitos
El curso Análisis II.

Commentarios
La presentación será visual y geométrica. Se darán muchos ejemplos útiles.

Tema
Teoría de distribuciones (funciones generalizadas)

Objetivo
Dar a conocer a los estudiantes la teoría moderna de distribuciones y
sus aplicaciones

Temario
1. Espacios de las funciones de prueba
2. Varios métodos para determinar una función.
3. Distribuciones.
4. Operaciones con distribuciones
5. Topología en los espacios de distribuciones
6. Diferenciación de distribuciones.
7. Soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales ordinarias.
8. La función de Green para problemas de frontera sobre un
intervalo.
9. Espacios de Sobolev y sus aplicaciones a problemas mixtos
10 Transformada de Fourier en espacios de las funciones de prueba
11. Transformada de Fourier en espacios de las distribuciones
12. Aplicaciones de la transformada de Fourier para la construccion
de la soluciones fundamentales de las EDP.

Bibliografía
Bibliografía
1. F. G. Friedlander , M. Joshi. Introduction to the Theory of
Distributions
2. A.I.Komech. A.A. Komech.
Principles of Partial Differential Equations (Problem Books in
Mathematics)

Requisitos
Análisis 1,2. Análisis complejo I.

Commentarios
En análisis matemático, una distribución o función generalizada es un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida.
Además la noción de distribución sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones localmente integrables y a entes aún más generales. Su uso es indispensable en muchos campos de las matemáticas, la física y la ingeniería. Así, por ejemplo, se utiliza en el análisis de Fourier para obtener soluciones generalizadas de ecuaciones en derivadas parciales. También juegan un papel muy importante en electrodinámica cuántica y en procesamiento de señales.
Las "funciones generalizadas" fueron introducidas por Serguéi Sobolev en 1935. Independientemente y a finales de la década de 1940 Laurent Schwartz formalizó la teoría de distribuciones, lo que le valió la medalla Fields en 1950.
La función delta de Dirac es una distribución. Las medidas, por ejemplo de la probabilidad, son distribuciones.

Tema
Transformada de Fourier

Objetivo
Introducir a l los estudiantes de maestría a una parte importante del análisis armónico, la transformación de Fourier, al tema que tenga aplicaciones en las Ecuaciones diferenciales, otras areas de matemáticas, Física y Ingeniería.

Temario
1. Series de Fourier en espacios de Hilbert
2. Series de Fourier trigonométricas. Convergencia en varios espacios.
3. Integral de Fourier.
4. Transformada de Fourier. Muchos ejemplos.
5. Teorema de inversión.
6. Transformada de Fourier en el espacio L^1. Ejemplos.
7. Propiedades de la transformada de Fourier. Transformada de la derivada.
8. Transformada de Fourier en el espacio S de las funciones infinitamente diferenciables y rápidamente decrecientes.
9. Transformada de Fourier y convolución.
10. Transformada de Fourier en el espacio L_2. Teorema de Plansherel.
11. Las funciones propias de la transformada de Fourier. Las funciones
de Hermite.
12. Transformada de Fourier en el espacio S’, dual a S. Ejemplos.
13. Algunas aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.

Bibliografía
1. A. Merzon. Transformada de Fourier (manuscrito)
2. A.N.Kolmogorov, S.V Fomin. Elementos de la teoría de funciones y de análisis funcional.
3. V.S. Vladimirov. Equations of Mathematical Physics.

Requisitos
Análisis1,2. Ecuaciones ordinarias 1.

Commentarios
El concepto matemático que hoy conocemos como transformada de
Fourier fue introducido por Joseph B. Fourier en 1811, en conexión con un tratado sobre la propagación del calor, mediante un argumento de paso al límite (del discreto al continuo) a partir de las series que también llevan su nombre. La transformada de Fourier –y el análisis armónico en general– constituye hoy una de las herramientas más útiles para el estudio y el tratamiento de múltiples aspectos de las ecuaciones en derivadas parciales. Es también significativo el papel que la transformada de Fourier juega en el terreno de las aplicaciones, fundamentalmente en teoría de la señal, teoría cuántica de campos, tomografía
y tratamiento y digitalización de imágenes.

La exposición tendrá el carácter transparente.

Tema
Curso básico de álgebra

Objetivo

Temario
1. Grupos. Grupos, subgrupos, subgrupos normales, grupos cíclicos, grupo simétrico, homomorfismos de grupos, teoremas de isomorfismo, teorema de Cayley, acciones de grupos en conjuntos, teoremas de Sylow, series de composición, grupos solubles, grupos lineales, automorfismos y productos semidirectos.

2. Anillos. Anillos, ideales, anillos cociente, homomorfismos de anillos, teoremas de isomorfismo, existencia y propiedad universal del campo de cocientes de un dominio entero, anillos de polinomios, dominios Euclidianos,dominios de ideales principales, factorización única.

3. Módulos. Módulos, submódulos, módulos libres, sumas directas, módulos cociente, matrices sobre dominios de ideales principales, forma normal de Smith, teorema fundamental de estructura de los módulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales, aplicaciones a formas
canónicas y al teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados.

4. Campos. Extensiones de campos, construcciones con regla y compás, campos finitos, extensiones algebraicas, cerradura algebraica, campo de descomposición de un polinomio, separabilidad y normalidad, grupo de Galois de una extensión, teorema fundamental de la teoría de Galois,
ejemplos importantes, criterio de Galois para solubilidad por radicales.

Bibliografía
1. Garling D.J.H.: A Course in Galois Theory. Cambridge University Press, 1986.

2. Jacobson N: Basic algebra I. W.H. Freeman and Company, New York, 1985.

3. Lang Serge: Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1984.

4. Rotman Joseph: An Introduction to the Theory of Groups, Fourth Edition, Springer-Verlag, 1995.

5. Rotman Joseph: Galois Theory Springer-Verlag, 1990.

6. Rotman Joseph: Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 2003.

7. Stewart Ian: Galois theory (second edition). Chapman and Hall Mathematics, 1989.

Requisitos

Commentarios

Tema
Modelación de Epidemias y redes

Objetivo
Introducir al estudiante en las herramientas básicas del modelado de enfermedades y de redes

Temario
1. Modelación de epidemias
a) Formas fundamentales

 b) Conceptos básicos. Modelo Kermack-McKendrick
c) Modelos compartamentales

2. Teoría de Redes
a) Redes y gráficas
b) Modelos de redes

 c) Herramientas de medida

Bibliografía
Fred Brauer, Carlos Castillo-Chavez, Mathematical models in population biology and epidemiology. Springer, 2012

Zhien Ma, Jia Li. Dynamical modeling and analysis of epidemics. World Scientific, 2009

Ernesto Estrada, The structure of complex networks. Theory and applications. Oxford University Press, 2011

Allain Barrain, Marc Bathélemy, AlessandroVespignani. Dynamical processes on complex networks. Cambridge University Press, 2008

Sánchez-Garduño, F.,Miramontes, P.,Gutiérrez, J.L., Clásicos de la biología matemática.México: Siglo XXI-UNAM, 2002

Murray, J., Mathematical Biology, New York: Spring-Verlag, 2003

Requisitos

Commentarios

Tema
Geometría simpléctica

Objetivo
Introducción a la geometría simpléctica

Temario
1) Introducción breve a la mecánica clásica
2) Geometría simpléctica
2.1 Espacio cotangente y su estructura
2.2 Estructura simpléctica en variedades
2.3 Flujos hamiltonianos y sus invariates
2.4 El álgebra de Lie de campos vectoriales y el álgebra de Lie de funciones hamiltonianas
2.5 Geometría simpléctica
2.6 Aplicaciones en mecánica clásica
3) Formalismo canónico (origen de la geometría simpléctica)
3.1 El invariante integral de Poincaré-Cartan y sus aplicaciones
3.2 El principio de Huygens en óptica
3.3 El método de Hamilton- Jacobi para integrar las ecs de Hamilton
3.4 Funciones generadoras
3.5 El espacio fase extendido y geometría de contacto
4) Sistemas dinámicos con simetrías
4.1 Reducción simpléctica
--
5) Introducción a la cuantización geométrica*
5.1 Formulación del problema de cuantización y ejemplos
5.2 Precuantización
5.3 Polarizaciones
5.4 Cuantización
5.5 Cuantización y reducción simpléctica

*) En el tema (5) se verán las ideas y resultados principales. Las demostraciones de algunos de dichos resultados se verán si el tiempo lo permite.

Bibliografía
Bibliografía:
V. I. Arnold, "Mathematical methods of classical mechanics" Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag capítulos 8 y 9

A. A. Kirillov, en "Encycl of Math Sci" Dynamical Systems Vol 4, Springer-Verlag

Requisitos
Haber llevado el curso básico de Geometría Diferencial o el de Topología Diferencial.

Commentarios

Tema
Fundamentos modernos de la teoría cuántica (II)

Objetivo
Exponer los bases y discutir sobre los últimos avances en los fun-
damentos de la teoría cuántica y teoría cuántica de campos, con enfoque particular en la formulación de fronteras generales y el formalismo positivo. Se espera que el seminario sirve también como un foro de intercambio de ideas para los académicos involucrados activamente en el desarrollo de este campo.

Temario
- Acercamiento operacional a los fundamentos de la física
- Formalismo convexo operacional/teorías probabilísticas generalizadas
- Localidad y causalidad
- Teoría cuántica de campos topológica
- Formulación axiomática de fronteras generales y positiva
- Esquemas de cuantización
- Aspectos del integral de Feynman
- Teoría cuántica de campos en espacio-tiempo con curvatura
- La teoría cuántica en el contexto general relativista
- Relación con otros acercamientos axiomáticos a la teoría cuántica de campos: teoría cuántica de campos algebraica, álgebras de factorización

Bibliografía
[1] A. S. Holevo, Probabilistic and statistical aspects of quantum theory, North-
Holland Series in Statistics and Probability, vol. 1, North-Holland, Amster-
dam, 1982.
[2] R. Oeckl, A local and operational framework for the foundations of physics,
1610.09052.
[3] L. Hardy, The operator tensor formulation of quantum theory, Phil. Trans. R.
Soc. A 370 (2012) 3385–3417, 1201.4390.
[4] H. Barnum, A. Wilce, Ordered Linear Spaces and Categories as Frameworks
for Information-Processing Characterizations of Quantum and Classical Theory,
0908.2354.
[5] R. Oeckl, General boundary quantum field theory: Foundations and pro-
bability interpretation, Adv. Theor. Math. Phys. 12 (2008) 319–352,
hep-th/0509122.
[6] D. Colosi, R. Oeckl, Spatially asymptotic S-matrix from general boundary for-
mulation, Phys. Rev. D 78 (2008) 025020, 0802.2274.
[7] R. Oeckl, Free Fermi and Bose Fields in TQFT and GBF, SIGMA 9 (2013) 028,
46 pages, 1208.5038v2.
[8] N. M. J. Woodhouse, Geometric Quantization, 2nd ed., Oxford University
Press, Oxford, 1991.
[9] R. Wald, Quantum field theory in curved spacetime and black hole thermodyna-
mics, University of Chicago Press, Chicago, 1994.
[10] R. Haag, Local Quantum Physics, Springer, Berlin, 1992.
[11] K. Costello, O. Gwilliam, Factorization Algebras in Quantum Field Theory,
vol. 1, Cambridge University Press, Cambridge, 2016.
[12] C. Rovelli, Quantum gravity, Cambridge University Press, Cambridge,
2004.

Requisitos
Nivel: Posgrado, posdoc, investigadores. El seminario se dirige a estudiantes, posdocs y investigadores con previo conocimiento en teoría cuántica. También puede ser de utilidad conocimiento básico en: teoría cuántica de campos, fundamentos de la teoría cuántica, teoría general de la relatividad. También sera útil conocimiento básico en análisis funcional.

Commentarios
El seminario es de física matemática. (En el formato web falta esta opción, por lo tanto aparece como seminario de análisis.)

Tema
Cálculo estocástico

Objetivo
Aprender sobre el concepto de la integral estocástica de Ito y sus aplicaciones a la formulación y solución de ecuaciones diferenciales estocásticas. Consideraremos aplicaciones a las matemáticas financieras (fórmula de Black y Scholes) el problema del filtrado de sistemas dinámicos observados con perturbaciones aleatorias y modelos biológicos.

Temario
1.- Preliminares sobre teoría de martingalas.
2.- Construcción del movimiento browniano.
3.- Definición de la integral de Ito.
4.- Fórmula de Ito.
5.- Ecuaciones diferenciales estocásticas.
6.- Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales estocásticas.

Bibliografía
Capinski, M, et alia, Stochastic Calculus for Finance. Cambridge University Press.

Oksendal, O. Stochastic Differential Equations. Springer.

Evans, L.C. An Introduction to Stochastic Differential Equations. AMS.

Allen, E. Modeling with Ito Stochastic Differential Equations. Springer.

Allen, L.J.S. An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. Chapman and Hall.

Requisitos
Curso básico de análisis real.

Commentarios

Tema
Análisis espectral de los operadores

Objetivo
Enseñar a los estudiantes de la maestría a resolver problemas en el análisis espectral de los operadores específicos

Temario
1. El concepto del espectro: eigenvalores, espectro continuo y residual.

2. El caso finitamente dimensional.

3. Análisis espectral de los operadores acotados.

3. El operador de translación en l_2.

4. El operador diferencial d/dx.

5. Teoría espectral de los operadores compactos.

6. El operador integral de Fredholm.

7. El operador de Volterra.

8. Operadores diferenciales de segundo orden. Función de Green.

9. Operadores simétricos.

10. El operador de la posición.

11. El operador de potencial.

12. El operador momentum.

13. El operador de Laplace.

14. Teoría espectral de los operadores de Sturm-Liouville

15. Problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace

Bibliografía
A.W Naylor, G.R.Sell. Linear operator theory in engineering and sciences

Requisitos
Análisis I,II

Commentarios
Una de los caros de la teoría espectral es la siguiente. Ella está conectada p. e. con la investigación de las vibraciones localizadas de una variedad de objetos diferentes, de los átomos y moléculas en química a los obstáculos en guías de ondas acústicas. Estas vibraciones tienen frecuencias, y la cuestión es decidir si tales vibraciones localizadas ocurren, y cómo hacer para calcular las frecuencias. La teoría espectral se usa en la mecánica cuántica, ondas de agua, en los modelos físicas no lineales etc.

Tema
Combinatoria infinita avanzada

Objetivo
Desarrollar y luego en ejemplos importantes demostrar usos de herramientas de combinatoria infinita.

Temario
1. Árboles y el problema de Suslin
2. Axioma de Martin
3. Invariantes cardinales del continuo
4. La Conjetura de Borel
5. Ultrafiltros y aplicaciones
6. Familias casi ajenas con aplicaciones
7. Principios de adivinanza
8. El problema de Whitehead
9. Principios de diamante parametrizados y sus aplicaciones
10. Cardinales grandes

Bibliografía
K. Kunen, Set Theory, Springer, 2000
T. Jech, Set Theory, Studies in Logic 34, College Publications, 2011

Requisitos
Conocimiento bueno de teoría de conjuntos

Commentarios

Tema
Suma de Kloosterman y aplicaciones

Objetivo

Temario
1). Sumas trigonométricas discretas y suma de Kloosterman.
2). Estimaciones de sumas trigonométricas de Kloosterman.
3). Análogo de las sumas de Kloosterman. Método de Karatsuba.
4). Suma multilineal de Kloosterman.
5). Distribución de inversos de elementos en campos primos.

Bibliografía
1). J. Bourgain and M. Z. Garaev, Sumsets of reciprocals in prime fields and miltilinear Kloosterman sums, Izv. Math. 78:4 (2014), 656–707.
2). A. A. Karatsuba, Analogues of Kloosterman sums, Izv. Math. 59:5 (1995), 971-981.
3). H. D. Kloosterman, On the representation of numbers in the form $ax^2+by^2+cz^2+dt^2$, Acta Math. 49 (1927), 407–464.

Requisitos

Commentarios

Tema
Biología de Sistemas

Objetivo
Que los alumnos adquieran las bases teóricas, metodológicas y conceptuales para realizar investigación de frontera en biología de sistemas.

Temario
El objetivo fundamental de la biología de sistemas es entender procesos biológicos a través del estudio de las interacciones entre los componentes del sistema. Para ello, se sirve fundamentalmente de las siguientes tres ramas científicas:
(1) Experimentación, para describir, empíricamente, el comportamiento del sistema. En este curso, los alumnos aprenderán a trabajar con datos experimentales de la literatura, de bases de datos y de mis colaboradores.
(2) Modelación matemática, para describir formalmente, integrar y explicar los procesos biológicos descritos experimentalmente. En el curso, a partir de datos experimentales, los alumnos aprenderán a plantear, calibrar, validar y analizar modelos matemáticos de sistemas biológicos (ecuaciones diferenciales y redes booleanas, principalmente).
(3) Computación, para almacenar y analizar los datos empíricos y los modelos matemáticos. En el seminario, los alumnos aprenderán a utilizar software (MATLAB, incluyendo la Dynamical Systems Toolbox; R, incluyendo BoolNet y la Early Warning Signals Toolbox; Matematica; Oscill8) para ello.

Bajo este enfoque, se revisarán los siguientes temas:

1. Modelos booleanos para analizar redes de regulación genética y comunidades ecológicas
2. Ecuaciones diferenciales no lineales para analizar circuitos bioquímicos y redes ecológicas que procesan señales ambientales. Se revisarán comportamientos emergentes de saturación, adaptación, ultra-sensibilidad, histéresis y oscilaciones. Realizaremos optimizaciones paramétricas, análisis de sensibilidad y análisis de robustez de los modelos matemáticos.
3. Modelos estocásticos para predecir catástrofes biológicas (extinción, progresión de enfermedades, cambio fenotípico).
4. Modelos híbridos para representar procesos biológicos a diferentes escalas temporales.

Una vez repasada la teoría, nos enfocaremos en discutir, analizar y replicar artículos de investigación de biología de sistemas de vanguardia.

Finalmente, dedicaremos la última parte del curso para trabajar en problemas abiertos en Biología de Sistemas. Los resultados de estas investigaciones serán compilados y discutidos en un reporte final que pueda servir como base para una publicación en una revista arbitrada, y o para la presentación en un congreso.

Bibliografía
Nota: sólo se indican los libros de texto, no así los artículos científicos que se revisarán durante el curso.
1. Uri Alon (2006): An Introduction to Systems Biology: Design Principles of Biological Circuits (Chapman & Hall/CRC Mathematical and Computational Biology)
2. Carlo Cosentino, Declan Bates (2011): Feedback Control in Systems Biology. CRC Press.
3. Domitilla Del Vecchio. Richard M. Murray (2014): Biomolecular Feedback Systems. Princeton University Press.
4. Kunihiko Kaneko (2006): Life: An Introduction to Complex Systems Biology. Springer.
5. Murray, J.D., 2003. Mathematical biology 3rd ed. Springer, ed.,
6. Strogatz, S., 2000. Nonlinear dynamics and chaos,
7. Wilkinson, D.J., 2006. Stochastic Modelling for Systems Biology.
8. Elena Álvarez-Buylla Roces, Juan Carlos Martínez-García, José Dávila Velderrain, Elisa Domínguez-Hüttinger and Mariana Esther Martínez-Sánchez. Modeling Methods for Medical Systems Biology - Regulatory Dynamics Underlying the Emergence of Disease Processes. Editorial: Springer. Serie: Advances in Experimental Medicine and Biology

Requisitos
Que el alumno tenga un fuerte interés en plantear y analizar modelos matemáticos de sistemas biológicos.

Commentarios
Invitamos a participar en este curso a alumnos tanto del PCCM como de otros posgrados (Ciencias Biológicas) y últimos años de licenciaturas afines (ej. Ciencias Ambientales, Ecología, Tecnologías para la Información en Ciencias).

Tema
Funtores de Biconjuntos

Objetivo
Introducir al alumno en los funtores de biconjuntos y los funtores de Green en biconjuntos

Temario
Capítulo 1: G-conjuntos y H-G-biconjuntos

1) G-conjuntos izquierdos y derechos
2) Operaciones en G-conjuntos
3) Biconjuntos
4) Grupos de Burnside
5) Anillos de Burnside

Capitulo 2: Funtores de Biconjuntos

1) Categorías, funtores y transformaciones naturales
2) Categoría de biconjuntos de grupos finitos
3) Funtores de biconjuntos
4) Restricción a subcategorías

Capitulo 3: Funtores simples

1) Subcategorías admisibles y construcciones relacionadas
2) Clasificación de los funtores simples

Bibliografía
Bouc S. (2010) Biset Functors. In: Biset Functors for Finite Groups. Lecture Notes in Mathematics, vol 1990. Springer, Berlin, Heidelberg

Thévenaz J. (1995) G-algebras and Modular Representation Theory,
Oxford mathematical monographs, Clarendon Press

Requisitos
1. Curso básico de álgebra
2. Conocimientos básicos de categorías

Commentarios
Se pretende dar este curso en conjunto con Luis Valero.

Tema
Funtores de Biconjuntos

Objetivo
Introducir al alumno en los funtores de biconjuntos y los funtores de Green en biconjuntos.

Temario
Capítulo 1: G-conjuntos y H-G-biconjuntos

1) G-conjuntos izquierdos y derechos
2) Operaciones en G-conjuntos
3) Biconjuntos
4) Grupos de Burnside
5) Anillos de Burnside

Capitulo 2: Funtores de Biconjuntos

1) Categorías, funtores y transformaciones naturales
2) Categoría de biconjuntos de grupos finitos
3) Funtores de biconjuntos
4) Restricción a subcategorías

Capitulo 3: Funtores simples

1) Subcategorías admisibles y construcciones relacionadas
2) Clasificación de los funtores simples

Bibliografía
Bouc S. (2010) Biset Functors. In: Biset Functors for Finite Groups. Lecture Notes in Mathematics, vol 1990. Springer, Berlin, Heidelberg

Thévenaz J. (1995) G-algebras and Modular Representation Theory,
Oxford mathematical monographs, Clarendon Press

Requisitos
1. Curso básico de álgebra
2. Conocimientos básicos de categorías

Commentarios
Se pretende dar este curso en conjunto con Gerardo Raggi.

Tema
Geometría hiperbólica

Objetivo
Este curso se dividirá en dos partes. El objetivo de la primera parte será dar al estudiante los conocimientos básicos de geometría hiperbólica, como lo son: diferentes modelos del plano hiperbólico, definiciones de distancias e isometrías, círculos hiperbólicos, ángulos y áreas de triángulos, trigonometría hiperbólica, etc. El objetivo de la segunda parte se enfocará al estudio de subgrupos de isometrías del plano hiperbólico; de forma más concisa, tratará del estudio de grupos Fuchsianos: daremos la definición de un grupo Fuchsiano, sus propiedades y dominios fundamentales, y al final estudiaremos la geometría de estos grupos. En caso de que el tiempo lo permita, se estudiará también la conexión de estos temas con las estructuras hiperbólicas en superficies.

Temario
1. Modelos y comparación.
1.1. Diferentes modelos de geometría hiperbólica.
1.2. Comparación de geometrías.

2. Transformaciones de Möbius.
2.1 Esfera de Riemann y transformaciones de Möbius.
2.2 Transformaciones que preservan el disco unitario.
2.3 Transformaciones que preservan el semi-plano superior.

3. Métrica.
3.1 Definición de métrica.
3.2 Geodésicas hiperbólicas.
3.3 Isometrías.

4. Círculos, triángulos y trigonometría.
4.1 Círculos hiperbólicos.
4.2 Triángulos y sus propiedades.
4.3 Paralelismo.
4.4 Polígonos.
4.5 Trigonometría hiperbólica.

5. Clasificación de isometrías.
5.1 Clasificaciones de transformaciones de Möbius por puntos fijos y traza.
5.2 Dinámica de las transformaciones de Möbius.
5.3 Clasficación de isometrías.
5.4 Dinámica y propiedades de las isometrías.

6. Grupos Fuchsianos.
6.1 Acciones discretas y propiamente discontinuas.
6.2 Definición y propiedades algebraicas de grupos Fuchsianos.
6.3 Grupos elementales.

7. Dominios fundamentales.
7.1 Dominios fundamentales y de Dirichlet.
7.2 Estructura de dominios de Dirichlet.
7.3 Conjuntos límites de grupos Fuchsianos.

8. Geometría de grupos Fuchsianos.
8.1 Grupos Fuchsianos geométricamente finitos, y cocompactos.
8.2 Grupos Fuchsianos de reflexiones, del primer tipo, y finitamente generados.

9. Estructuras hiperbólicas en superficies.
9.1 Estructuras hiperbólicas en superficies.
9.2 Estructuras no-completas.
9.3 Espacios cubrientes y mapeo desarrollador.
9.4 Teoremas de uniformización (para superficies hiperbólicas), y de Poincaré.

Bibliografía
S. Katok. Fuchsian groups. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. 1992.

S. Katok. Fuchsian groups, geodesic flows on surfaces of constant negative curvature and symbolic coding of geodesics. Homogeneous Flows, Moduli Spaces and Arithmetic. Clay Mathematics Proceedings, Volume 10. 2010.

C. Series. Hyperbolic geometry MA448. Notas de curso del Mathematics Institute de la University of Warwick, UK. Versión en línea. 2013.

Requisitos
Ninguno en particular.

Commentarios

Tema
Grupos de curvatura no-positiva

Objetivo
El objetivo del curso es brindar a los asistentes los conocimientos más básicos de espacios métricos de curvatura no-positiva, para después enfocarnos a grupos que actúen de forma "geométrica" en este tipo de espacios, y ver qué propiedades algebraicas se pueden obtener a través de la acción. Si el tiempo lo permite después nos enfocaremos en grupos que actúan en complejos cúbicos de curvatura no-positiva, y estudiaremos sus propiedades.

Temario
1. Curvatura CAT(k)
1.1 Definición
1.2 Caracterización

2. Convexidad
2.1 Definición
2.2 Subespacios convexos
2.3 Subespacios planos

3. Isometrías de espacios CAT(0)
3.1 Isometrías individuales
3.2 Estructura general de grupos de isometrías

4. Frontera visual
4.1 Definición
4.2 Topología Cono
4.3 Horofunciones
4.4 Isometrías parabólicas
4.5 Ángulos
4.6 Métrica angular
4.7 La frontera visual es CAT(-1)

5. Isometrías de espacios CAT(0) revisitadas
5.1 Resumen de propiedades
5.2 Problemas de decisión
5.3 Problema de la palabra
5.4 Problema de la conjugación

6. Espacios semi-hiperbólicos
6.1 Definición
6.2 Propiedades básicas
6.3 Subgrupos

7. Subgrupos de grupos cocompactos
7.1 Propiedades de finitud
7.2 Problema de la palabra
7.3 Problema de conjugación
7.4 Problema de membresía
7.5 Problema de isomorfismo

8. Complejos cúbicos CAT(0)
8.1 Definición
8.2 Hiperplanos
8.3 Estructura pocset

9. Cubulación
9.1 De pocsets a complejos cúbicos
9.2 Acciones propiamente discontinuas y cocompactas
9.3 Dualidad de Roller

10. Rigidez de rango
10.1 Núcleos esenciales
10.2 Doblamientos (skewerings)
10.3 Prueba de rigidez de rango

11. Complejos cúbicos especiales
11.1 Separabilidad de subgrupos
11.1.1 Prueba de Stallings del teorema de Marshall Hall
11.1.2 Complejos cúbicos especiales
11.2 Compleciones canónicas y retractos
11.3 Aplicación a subgrupos cuasi-convexos
11.4 Complejos cúbicos hiperbólicos son virtualmente especiales

Bibliografía
M. Bridson, A. Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. A Series of Comprehensive Studies in Mathematics. Vol. 319. Springer. 1999.

M. Sageev. CAT(0) cube complexes and groups; capítulo 1, pp 7--54 en Geometric Group Theory. IAS/Park City Mathematics Series. Vol. 21. American Mathematical Society. 2014.

Requisitos
Conocimiento básicos en espacios métricos, espacios cubrientes, y saber qué es un complejo CW.

Commentarios
La idea del seminario es que los temas se repartan entre los asistentes y los vayamos exponiendo entre todos. La meta mínima es cubrir los primeros 7 temas, mientras que la meta ideal sería cubrir al menos los primeros 9.

Tema
Teoría de Representaciones de Grupos

Objetivo
Introducir al alumno a la Teoría de Representaciones. Este curso sirve para aquellos que quieren aplicar las herramientas básicas de la Teoría de Representaciones de Grupos a Combinatoria Algebraica, Geometría Algebraica o Topología Algebraica. También sirve a aquellos estudiantes de álgebra como primer paso para, más adelante, profundizar en las representaciones de grupos, ya sea en la teoría general o de grupos específicos, como el grupo simétrico y los grupos lineales. Finalmente, sirve como curso introductorio a la Teoría de Representaciones de Álgebras.

Temario
1. Representaciones lineales y homomorfismos.
2. Teorema de Maschke.
3. Álgebras sobre un campo.
4. Módulos irreducibles y completamente reducibles.
5. Álgebras semisimples. Teorema de Wedderburn.
6. Caracteres. Producto interno. Relaciones de ortogonalidad.
7. Tablas de caracteres.
8. Módulos inducidos. Reciprocidad de Frobenius.
9. Teorema de Burnside sobre grupos solubles.
10. Representaciones del grupo simétrico.

Bibliografía
J. Alperin y R. Bell. Groups and Representations, 1995.
P. Etingof et. al. Introduction to Representation Theory, 2011.
R. Goodman y N. Wallach. Symmetry, Representations and Invariants, 2009.
M. Isaacs. Charater Theory of finite groups, 1976.
G. James y M. Liebeck. Representations and characters of groups, 2001.
B. Sagan. The Symmetric Group. Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions, 2001.

Requisitos
Conocimientos de Teoría de Grupos (curso de Álgebra Moderna de licenciatura) y Álgebra Lineal (a nivel licenciatura.) De manera que no es necesario haber llevado el curso básico de Álgebra.

Commentarios

Tema
Acciones de Grupos Polacos

Objetivo
Introducir al alumno los fundamentos de la teoría de acciones definibles de grupos Polacos y las relaciones de equivalencia de órbita asociadas.

Temario
1.- Grupos Polacos
2.- Acciones de grupos Polacos
3.- Relaciones de equivalencia definibles
4.- Medidas invariantes y descomposiciones paradójicas
5.- Mejores topologías
6.- Teoría de modelos y la conjetura de Vaught
7.- Acciones con relaciones de equivalencia de órbita Borel

Bibliografía
Becker, Howard; Kechris, Alexander S. The descriptive set theory of Polish group actions. London Mathematical Society Lecture Note Series, 232. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

Foreman, M., Kechris, A. S., Louveau, A., and Weiss, B. (editors), Descriptive set theory and dynamical systems, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 277, Cambridge University Press, 2000.

Requisitos
Conocimiento de la teoría descriptiva de conjuntos clásica.

Commentarios

Tema
Geometría no conmutativa de espacios homogéneos cuánticos

Objetivo
Dar una introducción a los espacios homogéneos cuánticos que surgen en la teoría de grupos cuánticos.

Temario
1. Grupos y álgebras de Lie
- grupos de Lie
- álgebra de Lie ascociada
- clasificación de las álgebras semisimples de Lie
- representaciones de peso máximo de grupos y álgebras de Lie
- teorema de Peter-Weyl para grupos de Lie compactos

2. Espacios homogéneos clásicos
- variedades diferenciables
- variedades (casi) complejas
- variedades Riemannianas y symplecticas
- variedades de Kähler
- acciones de grupos de Lie
- espacios homogéneos
- haces vectoriales asociados
- variedades de bandera irreducibles

3. Grupos cuánticos
- biálgebras, coálgebras y álgebras de Hopf
- álgebra de Hopf dual
- la envolvente universal cuantizada de un álgebra de Lie
- representaciones de tipo I
- grupos cuánticos de FRT
- subgrupos cuánticos
- espacios homogéneos cuánticos
- cálculo diferencial covariante
- equivalencia de Takeuchi para bimódulos covariantes
- haces vectoriales asociados

4. Variedades de bandera cuánticas
- variedades de bandera irreducibles clásicas
- variedades de bandera irreducibles cuánticas
- el cálculo diferencial de Heckenberger-Kolb
- estructura no conmutativa de Kähler
- el operador Laplaciano sobre el complejo de Dolbeault
- el operador de Dirac sobre variedades de bandera irreducibles cuánticos

Bibliografía
A. Klimyk, K. Schmüdgen: Quantum groups and their representations,
Springer-Verlag, Berlin, 1997.

V. Chari, A. Pressley: A guide to quantum groups, Cambridge University Press,
Cambridge, 1994.

D. Huybrechts: Complex Geometry, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2005.

R. Ó Buachalla: Noncommutative Kähler structures on quantum homogeneous spaces. Adv. Math. 322 (2017), 892-939.

Requisitos
conocimiento básico sobre variedades diferenciables, haces vectoriales, grupos y álgebras de Lie y sus representaciones

Commentarios
La meta del curso es introducir al alumno en la teoría de variedades de bandera irreducibles cuánticas para que pueda participar en la investigación acutual sobre estos espacios.

Tema
Seminario de Tópicos de Topología y Geometría

Objetivo
Aprender la técnicas modernas de topología algebraica, topología de variedades y geometría para abordar problemas de cirugía y clasificación

Temario
-Repaso de cohomología y homologia generalizada
-Cirugía en variedades: sucesión exacta básica, grupo de Whitehead y grupos L
-Conjetura de isomorfismo de Farrell-Jones y de Buam-Connes

Bibliografía
-J. Davis: introducción a la topología algebraica, AMS-Book series
-I. Hambleton, Algebaric K- and L-theory and applications to the topology of manifolds. ICTP lecture notes.2001

Requisitos
Topología algebraica, teoria de categorias, teoría geométrica de grupos

Commentarios

Tema
Cohomología, Clases Características y Variedades

Objetivo
El objetivo del curso es cubrir conocimientos básicos del área de topología algebraica para alumnos interesados en geometría y topología en un sentido amplio.

Temario
Cohomología y productos, Dualidad de Poincaré, teoría de Obstrucción, Haces vectoriales, haces Principales, Clases características de Stiefel-Whitney, Chern y Pontrjiagin. Bordismo. Sucesiones espectrales.

Bibliografía
Milnor, Stasheff: Characteristic Classes.
Husemoller. Fibre Bundles.
Switzer. Algebraic Topology: Homotopy and cohomology.

Requisitos
Conocimientos elementales de topología algebraica: homología, grupo fundamental, grupos de homotopía superior y aplicaciones cubrientes.

Commentarios

Tema
Teoría de esquemas

Objetivo
Introducir al alumno a la teoría de esquemas y ver las propiedades y resultados principales en este tema

Temario
1. Propiedades generales de esquemas.
1.1 Esquemas afínes
1.2 Esquemas proyectivos
1.3 Dimensión de esquemas
2. Morfismos de esquemas
2.1 Producto fibrado
2.2 Cambio de base
2.3 Propiedades globales de esquema
2.4 Morfismo separados y propios
3. Propiedades locales de esquemas
3.1 Esquemas regulares
3.2 Espacio tangente
3.3 morfismo planos y suaves

Bibliografía
"Algebraic geometry". Robin Hartshorne. ( Capítulo II). Springer-Verlag 1977.
"Algebraic geometry and arithmetic curves". Qing Liu. Oxford University Press, 2002.
"The red book of varieties and schemes". David Mumford. Lectures Notes in Mathematics. Springer-Verlag. Second edition1999.
"Algebraic geometry I. From algebraic varieties to schemes". Kenji Ueno. Translations of the AMS, 1999.

Requisitos
Curso básico de Algebra Conmutativa I.
Cursos básico de geometría algebraica I.

Commentarios

Tema
Forcing

Objetivo
Introducción gentil a pruebas de independencia, i.e. el método de forcing.

Temario
1. Axiomas de teoria de conjuntos
2. Modelos de fragmentos de ZFC
3. Forcing Axiomatizado
4. Cohen forcing, independencia de la Hipótesis del Continuo
5. Random forcing, independencia de la existencia de ultrafiltros selectivos.
6. Preservación y colapsos de cardinales, forcing de Namba, forcing de Baumgartner.
7. Forcing iterado
8. Consistencia del Axioma de Martin
9. Diagrama de Cichon
10. Forcing propio

Bibliografía
K. Kunen, Set theory, Studies in Logic 34, 2011
T. Jech, Set Theory, The Third Millenium Edition, Springer, 2003

Requisitos
Conocimiento básico de teoría de conjuntos.

Commentarios

Tema
Teoría de Ramsey infinita

Objetivo
Introducir al alumno los conceptos y técnicas básicas de la teoría de Ramsey Infinita.

Temario
1. Teorema de Ramsey
1.1. La notación flecha
1.2. Las versiones finitas e infinitas del teorema de Ramsey
1.3. Limitaciones
1.4. Compacidad: El teorema de Ramsey infinito implica la versión finita
1.5. Versiones no numerables del teorema de Ramsey
1.6. Cardinales débilmente compactos

2. El método de caminos minimales de Todorcevic
2.1. Caminos sobre ordinales numerables
2.2. Coloraciones de pares de ordinales numerables

3. Árboles y productos
3.1. Versiones del teorema de Halpern-Lauchli
3.2. Una prueba del teorema de Halpern-Lauchli

4. Teoría de Ramsey topológica
4.1. Particiones con una pieza co-magra o no-magra
4.2. Un teorema de Ramsey para espacios Polacos
4.3 Conjuntos Ramsey y la topología de Ellentuck
4.4. Teorema de Galvin-Prikry
4.5. Una aplicación a la teoría de espacios de Banach
4.6. Coloraciones abiertas , OCA y algunas aplicaciones

5. Compactificaciones de Stone-Cech de semigrupos discretos y teoría de Ramsey
5.1. Semigrupos derecho-topológicos compactos
5.2. Compactificaciones de Stone-Cech de semigrupos discretos
5.3. Los teoremas de Hales-Jewett y van der Waerden
5.4. Teorema de Hindman

Bibliografía
Argyros, Spiros A.; Todorcevic, Stevo Ramsey methods in analysis. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Birkhäuser Verlag, Basel, 2005.
M. Bekkali, Topics in Set Theory, Lecture Notes in Mathematics 1476, Springer-Verlag, Berlin, 1991.
Todorcevic, Stevo Introduction to Ramsey spaces. Annals of Mathematics Studies, 174. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2010.
Todorcevic, Stevo Walks on ordinals and their characteristics. Progress in Mathematics, 263. Birkhäuser Verlag, Basel, 2007.
Todorcevic, Stevo Topics in topology. Lecture Notes in Mathematics, 1652. Springer-Verlag, Berlin, 1997.

Requisitos
Conocimientos básicos de la teoría de conjuntos y la topología general.

Commentarios

Tema
Espacios de Krein

Objetivo
Dar una introducción a la geometría de espacios de Krein y a operadores lineales en espacios de Krein.

Temario
1. Espacios con producto interno indefinido
- Espacios con producto interno
- Ortogonalidad
- Vectores isotrópicos
- Subespacios (semi-)definidos y neutros
- Proyecciones de vectores en subespacios
- Descomposición fundamental

2. Espacios de Krein
- Topología de espacios de Hilbert
- Mayorantes y descomponibilidad
- Espacios de Krein
- Descomposición fundamental y completitud
- Simetría fundamental

3. Operadores en espacios de Krein
- Operadores lineales continuos
- Adjunto de un operador
- Isometrías y operadores unitarios
- Proyecciones
- Operadores autoadjuntos
- Teoría espectral
- Operadores positivos
- Operador de Gram

4. Marcos en espacios de Krein
- Bases ortogonales
- Marcos discretos en espacios de Hilbert
- Marcos discretos en espacios de Krein
- Marcos continuos en espacios de Krein
- Estados coherentes
- Kernel reproductor

Bibliografía
J. Bognar: Indefinite inner product spaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer­-Verlag, New York, 1974.

T. Ya. Azizov, I. S. Iokhvidov: Linear operators in spaces with an indefinite metric. Wiley-Interscience, New York, 1989. 


Requisitos
Análisis Funcional I

Commentarios
El temario podría variar algo según el interés de los participantes.

Tema
Sistemas Dinámicos

Objetivo
Se pretende familiarizar al alumno con la terminología y conceptos básicos de la teoría de sistemas dinámicos en el marco de los espacios topológicos y de medida. Introducir al estudiante en la investigación actual en los sistemas dinámicos.

Temario
1) Dinámica topológica: a) Nociones básicas de sistemas discretos, órbitas, puntos fijos y periódicas. b)Ejemplos

2) Recurrencia: Conjuntos Limites, transitividad topológica, mixing, expansividad, etc.

3) Sistemas bajas dimensiones: Dinámica sobre el círculo, numero de rotación, dinámica toros, sistemas en superficies.

4) Equivalencia: Conjugación topológica y otras, factores, cuasi-productos.

5) Entropía Topológica: Propiedades básicas, cálculos de este invariante en sistemas particulares.

6) Dinámica Simbólica: Shift, Subshift tipo finito, entropía, función zeta, La Herradura de Smale.

7) Teoría Ergódica: Medidas invariantes, recurrencia ergódica, teoremas ergódicos, entropía métrica, aplicaciones.

Bibliografía
{\bf Bibliograf\'{i}a:}
\begin{itemize}
\item Brin , Stuck \textit{Introduction to dynamical systems}
\item Peter Walter, \textit{Introduction to ergodic theory},
\item Katok \textit{An introduction to modern theory of dynamical systems},
\item Manfred Denker, \textit{Ergodic theory on compact spaces}, LNM.
\item Art\'{i}culos y lecturas recientes.

Requisitos
Análisis Real, ecuaciones diferenciales.

Commentarios

Tema
Introducción al Análisis Geométrico

Objetivo
Estudiar los elementos de geometría y análisis para encontrar extremos de funcionales en variedades Riemannianas. Con esto motivar problemas de geometrización, particularmente el Problema de Yamabe.

Temario
1. Preliminares de Geometría Riemanniana

1.1. Variedades Diferenciables
1.2 Métricas Riemannianas
1.3 Curvatura: Tensor de Riemann, Curvatura de Ricci y Curvatura Escalar
1.4 Teorema de Hopf-Rinow
1.5 Laplaciano

2. Análisis sobre variedades

2.1 Integración sobre variedades Riemannianas
2.2 Teorema de Stokes
2.3 Espacios de Sobolev
2.4 Regularidad y principios del Máximo
2.5 Multiplicadores de Lagrange
2.6 Los Teoremas de Encaje de Sobolev
2.7 Teorema de Rellich-Kondrakov

3. Cálculo variacional
3.1 Derivadas de Fréchet
3.2 Coercividad de funcionales
3.2 Sucesiones de Palais-Smale
3.3 Método de la Variedad de Nehari

4. Problema de Yamabe

4.1 Deformaciones conformes de métricas Riemannianas
4.2 Geometrización de superficies regulares
4.3 Funcional de Hilbert-Einstein
4.4 Funcional y Ecuación de Yamabe
4.5 Teorema de Yamabe-Trudinger-Aubin-Schoen
4.6 Multiplicidad de soluciones de la Ecuación de Yamabe

Bibliografía
*Aubin, T. (1982), Nonlinear Analysis on Manifolds. Monge-Ampère Equations; New York: Springer-Verlag.

*Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, 2nd ed. Berlin; New York: Springer

*Hebey, E. (2003), Variational methods and elliptic equations in Riemannian Geometry. Lecture Notes, ICTP.

*Lee, John M.; Parker, T. H. (1987), "The Yamabe problem". Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 17, no. 1, 37--91

*Nehari, Zeev (1960), "On a class of nonlinear second-order differential equations", Transactions of the American Mathematical Society, 95: 101–123.

*Petersen, Peter (2016), "Riemannian Geometry", 3rd Edition, New York: Springer-Verlag.

*Schoen, R. (1988), Topics in Differential Geometry. Lecture Notes by Dan Pollack.

*Yamabe, Hidehiko (1960), "On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds", Osaka Journal of Mathematics, 12: 21–37.

Requisitos
El curso es, como el título lo sugiere, totalmente introductorio. Es útil haber tomado cursos de Topología Diferencial y Análisis Funcional, aunque no indispensable.

Commentarios
El curso estará concentrado en las notas de Hebey y en el artículo de Lee y Parker. La primera parte será guiada por el libro de Petersen.

La forma evaluar se divide en dos. En el Capítulo 1 Preliminares de Geometría Riemanniana, se dejarán entre 3 y 6 problemas semanales. Esta parte tiene un valor de 20%. El resto de la calificación se obtendrá a través de una exposición de alguno de los temas del curso, ó algun otro relacionado con el programa.

Tema
Acciones de grupos en àrboles

Objetivo
El objetivo de este curso es que el estudiante aprenda los conceptos básicos de teoría de Bass-Serre (acciones de grupos en árboles), conozca varias aplicaciones (teorema de Stallings) al igual que una de las diferentes evoluciones que esta teoría ha tenido (descomposiciones JSJ de grupos).

Temario
1. Productos amalgamados y extensiones HNN.
2. Árboles y grupos libres.
3. Productos amalgamados y árboles de grupos.
4. Grafos de grupos y sus grupos fundamentales.
5. Propiedad FA.
6. Subgrupos de productos amalgamados.
7. Grafos de espacios y grafos de grupos.
8. Fines de espacios y grupos.
9. Teorema de Stallings.
10. Accesibilidad.
11. Descomposiciones JSJ de grupos.
12. Espacio de deformaciones JSJ.

Bibliografía
[1] J.-P. Serre. Trees. Springer Monographs in Mathematics. Springer. 2003.
[2] P. Scott, T. Wall. Topological methods in group theory in Homological group theory (137–
203). Proc. Sympos., Durham, 1977. Cambridge University Press, Cambridge. 1979.
[3] V. Guirardel, G. Levitt. JSJ decompositions of groups. Astérisque vol. 395. Société Mathé- matique de France. 2017.

Requisitos
Conocimiento básico de teoría de grupos.
Conocimiento bàsico de grupos fundamentales y espacios cubrientes.
Conocimiento bàsico de topología bàsica.

Commentarios

Tema
Una introducción a los Grupos Topológicos

Objetivo
Dar una introducción a los grupos topológicos detallando es las propiedades básicas y generales. Se hara énfásis en las aplicaciones de Teoría de Conjuntos a la construcción de ejemplos y contraejemplos

Temario
TEMAS

1. Grupos Topológicos
1.1 Definiciones Básicas.
1.2 Subgrupos y grupo cociente.
1.3 Homomorfismos topológicos.
1.4 Productos.

2. Metrización
2.1 Pseudométricas invariantes.
2.2 Axiomas de separación.
2.3 Teorema de Metrización.

3. Compacidad
3.1 Grupos totalmente acotados.
3.2 Completación de A. Weil.
3.3 Grupos pseudocompactos.
3.4 Grupos compactos.
3.5 Grupos localmente compactos.

4. Conexidad
4.1 Propiedades b\'asicas de grupos conexos.
4.2 Grupos totalmente disconexos.

5. Integral de Haar
5.1 Integral de Haar.
5.2 Medida de Haar.

Bibliografía
1. A. Arhangel'skii y M. Tkachenko, Topological groups and related structures, Atlantis Studies in Mathematics, 1. Atlantis Press, Paris; World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2008
2. D. Dikranjan, Iv. Prodanov, L. Stoyanov, Topological Groups: Characters, Dualities and Minimal Group Topologies, Pure Appl. Math., vol. 130, Marcel Dekker Inc., New York, Basel, 1989.
3. E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis I, Springer-Verlag.
4. M. Tkachenko, L. M. Villegas Silva, C. Hernández y O. J. Rend\'on, Grupos Topológicos, editorial UAM-Iztapalapa.

Requisitos
1. Topología I.
2. Algebra Moderna .
3. Análisis Matemático I.

Commentarios

Tema
Funtores de Green en biconjuntos

Objetivo
Estudia los funtores de Green en biconjuntos y sus "módulos"

Temario
Funtores de Green
1. Biconjuntos y productos directos
2. La construcción de Yoneda- Dress
3. Hom interno de funtores de biconjuntos
4. Productos tensoriales de funtores de biconjuntos
5 Funtores de Green en biconjuntos
6. A-módulos y sus diferentes caracterizaciones

Bibliografía
1. Biset functorsfor finite groups. Serge Bouc. Lecture notes in Mathematicas 1990. 2008.
2. Categories for the Working Mathematician, Mac Lane, Saunders, Graduate Texts in Mathematics. 1971

Requisitos
Funtores de Biconjuntos

Commentarios

Tema
Teoría de Representaciones de Álgebras

Objetivo
Entender algunos de los fundamentos actuales de la Teoría de Representaciones de Álgebras, con el propósito de poder utilizar sus resultados y técnicas en disciplinas afines.

Temario
1.- Radical de Jacobson y resultados básicos referentes a anillos, con énfasis en los artinianos.

2.- Elementos de módulos semisimples, proyectivos e inyectivos.

3.- Longitud, localidad, teoremas de Jordan-Hölder, Krull-Schmidt, Harada-Sai y Jacobson.

4.- Álgebras de Artin, dualidad y estructura de módulos proyectivos y módulos inyectivos, categorías de módulos finitamente generados.

5.- Carcajes y su relación con álgebras de dimensión finita sobre campos perfectos.

6.- Sucesiones que casi se dividen y morfismos irreducibles.

7.- El carcaj de Auslander-Reiten.

Bibliografía
1.- M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smalo. Representation Theory of Artin Algebras. Cambridge studies in advanced mathematics 36.

2.- H. Cárdenas, E. Lluis. Módulos semisimples y representación de grupos finitos. Sociedad Matemática Mexicana, Serie 1.

3.- F. Larrión, G. Raggi, L. Salmerón. Rudimentos de mansedumbre y salvajismo en Teoría de Representaciones. Aportaciones Matemáticas, Textos 5, Sociedad Matemática Mexicana.

4.- L. H. Rowen. Ring Theory. Academic Press.

Requisitos
1.- Álgebra Lineal.
2.- Álgebra Abstracta.

No son indispensables, pero ayuda haber estudiado cualquiera de los siguientes temas: Álgebra Homológica, Representaciones de Grupos, Teoría de Anillos (más allá de lo que es parte del curso estándar de Álgebra Moderna), Teoría de Categorías.

Commentarios

Tema
Introducción a la Teoría Geométrica de Grupos

Objetivo
El objetivo de este curso es que los estudiantes tengan los conocimientos básicos y genera- les en Teoría Geométrica de Grupos, con un enfoque más actual. Se espera que el estudiante, al finalizar el curso, pueda deducir propiedades de un grupo en base a sus acciones en objetos geométricos. Equivalentemente, se espera que el estudiante pueda estudiar y entender las diferentes estructuras geométricas asociadas a un grupo.

Temario
1. Preliminares de teoría de grupos.
a) Grupos libres, generadores y relaciones.
b) Productos libres y amalgamados.
c) Grafos de Cayley.
- Grafos de Cayley de grupos libres.
- Grupos con grafos de Cayley árboles.

2. Acciones libres en árboles.
a) Grupos actuando libremente en árboles.
b) Caracterización de grupos libres.
c) Subgrupos de grupos libres son libres.

3. Lema de Ping-pong.

4. Espacios de longitud.
a) Teorema de Hopf-Rinow.
b) Variedades Riemannianas.
c) Espacios cubrientes.
d) Equivalencias a gran escala.
- Encajes isométricos, bi-Lipschitz y cuasi-isométricos.
- Cuasi-isometría de grafos de Cayley de un grupo.

5. Lema de Svarc-Milnor.
a) Acciones de grupos y equivalencias.
b) Presentaciones de grupos basadas en acciones.
c) Lema(s) de Schwartz-Milnor.
d) Consecuencias.
- Invarianza cuasi-isométrica de ser finitamente presentado.
- Conmensurabilidad y conmensurabilidad débil.
- Primer vistazo a rigidez cuasi-isométrica.

6. Emparejamientos
a) Emparejamientos de conjuntos.
b) Emparejamientos de topológicos.
c) Arzelá-Ascoli y equivalencias de emparejamientos y cuasi-isometrías.
d) Aplicaciones a reticulas.

7. Tipos de crecimiento.
a) Funciones de crecimiento en espacios métricos.
b) Tipos de crecimiento.
c) Cuasi-isometrías.
d) Tipos de crecimiento de grupos.
e) Aplicaciones a variedades.
f ) Grupos nilpotentes y crecimiento polinomial.

8. Espacios de fines.
a) Espacio de fines de un espacio topológico.
b) Espacio de fines de un grupo.
c) Equivalencia cuasi-isométrica.
d) Posibles espacios de fines de grupos.
e) Breve vistazo al teorema de Stallings.

9. Espacios hiperbólicos.
a) Hiperbolicidad por triángulos δ-delgados.
b) Invarianza por cuasi-isometría.
c) Definición por productos de Gromov.
d) Definición por triángulos comparativos.
e) Equivalencias de hiperbolicidad.
f ) Criterios de hiperbolicidad de Bowditch.

10. Grupos hiperbólicos.
a) Definición de grupos hiperbólicos.
b) Elementos de orden infinito, cuasi-convexidad y centralizadores.
c) Subgrupos libres y crecimiento.
d) Frontera de Gromov y clasificación de elementos.
e) Complejo de Rips y K(G,1) de G hiperbólico y libre de torsión.

11. Grupos promediables.
a) Paradoja de Banach-Tarski.
b) Grafos promediables y geometría acotada.
c) Promediabilidad de grupos y propiedades.
d) Propiedad de Følner.
e) Equivalencias.
f ) Grupos promediables elementales.

Bibliografía
[1] B.H. Bowditch. A course on geometric group theory. MSJ Memoirs, Vol. 16. Mathematical Society of Japan. 2006. Preprint en línea, cortesía del autor.

[2] B.H. Bowditch. Uniform hyperbolicity of the curve graphs. Pacific J. Math. 269, 269–280. 2014. Preprint en línea, cortesía del autor.

[3] M.R. Bridson, A. Häfliger. Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der mat- hematischen Wissenschaften, Vol. 319. Springer Verlag Berlin Heidelberg. 1999.

[4] C. Drutu, M. Kapovich. Geometric group theory. Colloquium Publications, Vol. 63. Ameri- can Mathematical Society. 2018. Preprint en línea, cortesía de los autores.

[5] E. Ghys, P. de la Harpe. Sur les groupes hyperboliques dáprès Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, Vol. 83. Birkhäuser Basel. 1990.

[6] C. Löh. Geometric group theory, an introduction. Universitext. Springer International Pu- blishing. 2018. Preprint en línea, cortesía de la autora.

Requisitos
Tener conocimientos básicos de teoría de grupos y topología/espacios métricos. Si bien no es requisito, conocimientos básicos de topología algebraica y geometría hiperbólica facilitan el entendimiento de varios ejemplos.

Commentarios

Tema
Geometría de Alexandrov

Objetivo
El objetivo principal del curso es dar un introducción a las nociones, construcciones y resultados básicos de los llamados Espacios de Alexandrov.

Estos espacios son espacios métricos que satisfacen una noción de "curvatura seccional acotada inferiormente" en un sentido sintético, es decir, no se requiere la existencia de un atlas diferenciable para hablar de curvatura seccional acotada. De hecho, típicamente dichos espacios no son variedades. Sin embargo, gran parte de los resultados de geometría riemanniana global que involucran cotas en la curvatura seccional pueden ser demostrados en este contexto.

Temario
1. Geometría de comparación: El Teorema de Bonnet-Myers y el Teorema de Toponogov.
2. Definición y propiedades básicas de los espacios de Alexandrov
3. Construcciones: Conos. suspensiones esféricas, joins, pegados por la frontera.
4. Teorema de globalización de Toponogov.
5. Métrica de Gromov-Hausdorff
6. Estructura local de los espacios de Alexandrov: Ángulos, Espacio de Direcciones, Cono Tangente, estrato singular.
7. Strainers y Dimensión de Hausdorff

Opcional o si el tiempo lo permite: Teorema de Escisión, Teorema del diámetro máximo, Fundamentos de Análisis en espacios de Alexandrov.

Bibliografía
-Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei. A course in metric geometry. Graduate Studies in Mathematics, 33. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.

-Burago, Yu.; Gromov, M.; Perelʹman, G. A. D. Aleksandrov spaces with curvatures bounded below. (Russian) ; translated from Uspekhi Mat. Nauk 47 (1992), no. 2(284), 3--51, 222 Russian Math. Surveys 47 (1992), no. 2, 1--58

-Shiohama, Katsuhiro. An introduction to the geometry of Alexandrov spaces. Lecture Notes Series, 8. Seoul National University, Research Institute of Mathematics, Global Analysis Research Center, Seoul, 1993. {\rm ii}+78 pp.

Requisitos
Para el primer tercio del curso: Nociones básicas de geometría riemanniana.

El resto del curso solamente requiere conocimientos básicos de topología y espacios métricos pero es deseable tener conocimientos de geometría riemanniana pues muchas construcciones están basadas en esta teoría.

Commentarios
El estudio de la geometría de Alexandrov ha tenido un auge desde los noventas encontrando aplicaciones importantes en la geometría riemanniana. Naturalmente los espacios de Alexandrov surgieron como límites de sucesiones de variedades riemannianas con respecto a una cierta métrica (la de Gromov-Hausdorff) que mide qué tan isométricos son dos espacios métricos. De la misma manera que en análisis estudiar los límites de una sucesión provee información valiosa, el estudio de los espacios de Alexandrov también tiene repercusiones sobre las variedades riemannianas. Posiblemente la aplicación más importante de la geometría de Alexandrov es resolver un paso crucial en el Teorema de Geometrización de Thurston-Perelman.

Tema
Topología Algebraica Equivariante

Objetivo
El objetivo del curso es dar una introducción a los conceptos y herramientas básicas que se usan en la topología algebraica equivariante, todo esto desde un punto de vista moderno.

Temario
1.Básicos de topología equivariante.
a) Acciones propias y el teorema de la rebanada.
b) Nociones básicas de complejos G-CW.

2. Generalizaciones de homología singular y espacios clasificantes.
a) Cohomología de Bredon.
b) Trucos para calcular (co)-homología de Bredon.
c) Cohomología de Borel.
d) Espacios clasificantes para familias.
e) El problema de Eilenberg-Ganea y dimensiones cohomológicas para familias.
f) Teoría de P. A. Smith.

3. Teorías de homología equivariantes generalizadas.
a) G-Teorías de homología.
b) Caracteres de Chern equivariantes
c) La sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch en topología equivariante.
d) Cálculos de cohomología de Bredon: sucesión espectral de p-Cadenas.
e) La sucesión espectral de Bousfiel-Kan y el problema del (co)-límite homotópico.

4. Teoremas de compleción / localización.
a) Teoría K-topológica y K-homología.
b) Teoremas de compleción de tipo Atiyah-Segal.

Bibliografía
[1] M. F. Atiyah. Characters and cohomology of finite groups. Inst. Hautes Études
Sci. Publ. Math., (9):23{64, 1961.

[2] Michael Atiyah and Graeme Segal. Twisted K-theory. Ukr. Mat. Visn.,
1(3):287{330, 2004. ISSN 1810-3200.

[3] N. Bárcenas, J. Espinoza, B. Uribe, and M. Velásquez. Segal's spectral sequence in twisted equivariant k-theory for proper and discrete actions. preprint, ArXiv:1307.1003

[4] N. Bárcenas. Mountain pass theorem with infinite discrete symmetry. Osaka
J. Math., 53(2):331-350, 2016.

[5] Noé Bárcenas and Mario Velásquez. The completion theorem in
twisted equivariant K- theory for proper actions. ArXiv:1408.2404.

[6] Noé Bárcenas and Mario Velásquez. Twisted equivariant K-
theory and K-homology of Sl3Z. Algebr. Geom. Topol., 14(2):823-852, 2014.

[7] Noé Bárcenas, Dieter Degrijse, and
Irakli Patchkoria. Stable finiteness properties of infinite discrete groups. J. Topol., 10(4):1169-1196, 2017.

[8] P. E. Conner and E. E. Floyd. Differentiable periodic maps. Academic
Press Inc., Publishers, New York, 1964.

[9] James F. Davis and Wolfgang Lück. Spaces over a category and assembly
maps in isomorphism conjectures in K- and L-theory. K-Theory, 15(3):201-252,
1998.

[10] James F. Davis and Wolfgang Lüuck. The p-chain spectral sequence. K-Theory, 30(1):71-104, 2003.

[11] Daniel Juan-Pineda and Ian J. Leary. On classifying spaces for the
family of virtually cyclic subgroups. In Recent developments in algebraic topology, volume 407
of Contemp. Math., pages 135-145. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.

[12] Wolfgang Lück. Transformation groups and algebraic K-theory, volume 1408 of Lec-ture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

[13] Wolfgang Lück. Chern characters for proper equivariant homology theories and applications to K- and L-theory. J. Reine Angew. Math., 543:193-234, 2002.

[14] Wolfgang Lück. Survey on classifying spaces for families of subgroups. In Infinite groups: geometric, combinatorial and dynamical aspects, volume 248 of Progr. Math., pages 269-322. Birkhäuser, Basel, 2005.

[15] J. P. May. Equivariant homotopy and cohomology theory, volume 91 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

[16] Guido Mislin and Alain Valette. Proper group actions and the Baum-Connes conjecture. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.

[17] Ruben Jose Sanchez-Garcia. Equivariant K-homology of the classifying space for proper actions. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2005. Thesis (Ph.D.)-University of Southampton (United Kingdom).

[18] Tammo tom Dieck. Transformation groups. Walter de Gruyter & Co., Berlin,
1987.

Requisitos
Curso básico de topología
Curso básico de álgebra.
Conocimientos de teoría de homotopía.

Commentarios
La topología algebraica equivariante propone refinar construcciones y métodos originados en la topología algebraica en el caso de simetría. Los métodos de la Topología algebraica equivariante han servido de lenguaje unificador a las conjeturas de ismorfismos de Farrell-Jones y Baum-Connes, el estudio de trazas ciclotómicas en teoría K algebraica, la solución de problema de invariante de Kervaire, entre varios ejemplos relevantes. Al mismo tiempo, el uso de métodos equivariantes ha permitido el refinamiento de herramientas topológicas al caso con simetría donde el análisis, el estudio de acciones en variedades o la geometría discreta la requieren.

Tema
Introducción a la Teoría de Grupos de Lie

Objetivo
El objetivo principal del curso es dar una introducción a la teoría de grupos de Lie, su estructura, sus representaciones y sus acciones.

Temario
1. Repaso de nociones básicas: Variedades diferenciables.
1.1 Variedades diferenciables
1.2 Campos Vectoriales y sus flujos
1.3 Formas Diferenciables

2. Grupos de Lie y sus álgebras de Lie
2.1 Grupos de Lie y sus Homomorfismos
2.2 Aplicación exponencial
2.3 Representación adjunta

3. Subgrupos y subálgebras de Lie
3.1 Correspondencia entre subgrupos y subálgebras
3.2 Grupos cubrientes
3.3 Grupos simplemente conexos y unicidad

4. Acciones suaves
4.1 Representacion de isotropía
4.2 Espacios homogéneos

5. Grupos Compactos
5.1 Medida de Haar
5.2 Estructura de grupos compactos
5.3 Representaciones de toros
5.4 Representaciones de grupos compactos en general

Bibliografía
[1] Warner, F. W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Scott Foresman, Glenview, Ill., 1971. Second edition: Springer-Verlag, New York, 1982

[2] S. Helgason - Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, Pure and Applied Mathematics 80, Academic Press, New York, 1978.

[3] Anthony W. Knapp - Lie Groups Beyond an Introduction, 2nd Ed., Progress in Mathematics Vol. 140, Birkhäuser, 2002.

[4] V. S. Varadarajan - Lie groups, lie algebras and their representations, Springer -Verlag, Heidelberg, 1984.

[5] A. Baker - Matrix groups. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London Ltd., London, 2002. An introduction to Lie group theory.

Requisitos
El curso es introductorio, por lo que los requisitos son mínimos: Álgebra lineal, teoría de grupos. Es útil haber llevado un curso de geometría diferencial, pero no es indispensable, el material necesario se verá en el curso.

Commentarios
La teoría de grupos y álgebras de Lie es fundamental en la geometría, pues los grupos de simetrías de los objetos geométricos (Riemanniano, pseudo-Riemanniano, Alexandrov, con conexion afín) son grupos de Lie. Así, entender estos grupos y sus acciones son necesarios para entender las acciones de grupos preservando la geometría.

Tema
Introducción al álgebra homológica

Objetivo
Introducción al álgebra homológica

Temario
Programa:

1.- Nociones de teoría de categorías.
Definición y ejemplos, funtores, transformaciones naturales, equivalencia de categorías, funtor hom, lema de Yoneda, funtores representables, funtores adjuntos.


2.- Módulos. La categoría de módulos sobre un anillo,
módulos artinianos y noetherianos, series de composición, teorema de Jordan-Holder, módulos inescindibles, teorema de Krull-Schmidt.

3.- Funtores aditivos y equivalencia de Morita.
Definiciones y ejemplos, otra vez el funtor hom, bimódulos, producto tensorial, exactitud de funtores, módulos proyectivos e inyectivos, envolvente inyectiva, teorema de la base dual, contextos de Morita, teorema de Morita, generadores
y progeneradores, equivalencia de categorías de módulos.

4.- Homología. Categorías aditivas y abelianas, complejos y
funtores de homología, sucesión larga de
homología, homotopía, resoluciones, funtores derivados, Ext y Tor.

5.- Aplicaciones. Cohomología de grupos, extensiones de grupos,
dimensión homológica.

Bibliografía
1.- Jacobson N., Basic Algebra I, W. H. Freeman and
Company, 1985.

2.- Jacobson N., Basic Algebra II, W. H. Freeman and
Company, 1989.

3.- Rotman J., An Introduction to Homological Algebra,
(tercera edici\'on), Academic Press, 1979.

4.- Anderson, F. W., Fuller, K.R., Rings and Categories of Modules, GTM 13, Springer Verlag.

5.- Mac Lane S., Categories for the Working Matematician, GTM 5, Springer Verlag.

Requisitos
Estar failiarizado con el material del curso básico de Algebra Moderna de la maestría.

Commentarios

Tema
Análisis de Fourier y aplicaciones

Objetivo

Temario
1). Serie de Fourier y sus propiedades de convergencia.
2). Transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier.
3). Aplicaciones en teoría analítica de números.

Bibliografía
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elementos de la teoría de funciones y de análisis funcional. Mir, Moscú, 1982.

H. L. Montgomery, Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. AMS, Providence, 1994.

Requisitos

Commentarios

Tema
Homologia y Teoría de conjuntos

Objetivo
Presentar y estudiar relación entre Topología algebraica y Teoria de conjuntos

Temario
1. Temas relevantes de Teoría de Conjuntos
2. Elementos de homología y cohomología
3. Homología fuerte
4. Teoremas de Mardesic-Prasolov y Dow-Simon-Vaughan
5. Caminos sobre ordinales
6. Cohomología de espacios de ordinales.
7. Forcing y cardinales grandes

Bibliografía
J. Bergfalk: Dimensions of ordinals, PhD Thesis, Cornell University, 2018
K. Kunen: Set Theory, Studies in logic, 2011
A. Hatcher: Algebraic topology, Cambridge University Press 2002
S. Todorcevic: Walks on ordinals and their characteristics,Birkhauser 2007

Requisitos
Conocimiento de la Teoría de Conjuntos.

Commentarios
El seminario se dará en inglés.

Tema
Geometrías euclidiana, esférica, proyectiva e hiperbólica

Objetivo

Temario
(1) Geometría euclidiana plana y tridimensional: isometrías, cónicas y cuádricas
(2) Geometría esférica plana: métricas, geodésicas, isometrías y área
(3) Geometría proyectiva plana: construcciones, transformaciones proyectivas, teoremas de Desargues y Pappus, cónicas
(4) Geometría hiperbólica plana: modelos, rectas, circunferencias y horcírculos, isometrías, teorema de Gauss-Bonnet

Bibliografía
Javier Bracho. Introducción analítica a las geometrías.
José Seade. Introducción a la geometría avanzada.
Elmer Rees. Notes in geometry.
Beardon, The geometry of discrete groups.
Francis Bonahon Low dimensional geometry.
Una introduccion a la geometria hiperbolica bidimensional Las prensas de Ciencias, Mexico 2005. 170 pags.
Svetlana Katok. Fuchsian Groups.